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(번역) Differential of a function

by 다움위키 2024. 1. 29.

 

미적분학(calculus)에서, 미분(differential)은 독립 변수의 변화에 관한 함수 y = f(x)에서 변화의 주요 부분(principal part)을 나타냅니다. 미분 dy는 다음으로 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle dy = f'(x)\,dx,\)

여기서 \(f'(x)\)는 x에 관한 f의 도함수(derivative)이고, dx는 추가적인 실수 변수(variable)입니다 (그래서 dy는 x와 dx의 함수입니다). 표기법은 다음 방정식을 유지하는 것과 같습니다:

\(\quad\displaystyle dy = \frac{dy}{dx}\, dx\)

여기서 도함수는 라이프니츠 표기법(Leibniz notation) dy/dx으로 나타내고, 이것은 미분의 몫으로써 도함수에 관한 것과 일치합니다. 우리는 역시 다음으로 쓸 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle df(x) = f'(x)\,dx.\)

변수 dy와 dx의 정확한 의미는 응용의 문맥과 수학적 엄격함의 요구되는 수준에 달려 있습니다. 이들 변수의 도메인은 만약 미분이 특정 미분 형식(differential form)으로 여겨지면 특정 기하학적 중요성, 또는 만약 미분이 함수 증가분에 대한 선형 근사(linear approximation)로 여겨지면 해석적 중요성 위에 취해질 수 있을 것입니다. 전통적으로, 변수 dx와 dy는 매우 작은 (무한소(infinitesimal)) 것으로 여겨지고, 이 해석은 비-표준 해석학(non-standard analysis)에서 엄격하게 이루어집니다.

History and usage

도함수는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)에 의해 직관적 또는 경험적 정의를 통해 처음 도입되었으며, 그는, 함수의 인수  x에서 무한히 작은 변화 dx에 대응하는, 함수의 값 y에서 무한히 작은 (또는 무한소(infinitesimal)) 변화로 미분 dy를 생각했습니다. 해당 이유에 대해, 함수의 도함수(derivative)의 값인, x에 관한 y의 변화의 순간 비율은 다음 분수로 표시됩니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{dy}{dx} \)

이것은 도함수에 대해 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)으로 불립니다. 몫 dy/dx은 무한히 작은 것이 아니며, 오히려 그것은 실수(real number)입니다.

이 형식에서 무한소의 사용은, 예를 들어 버클리 주교(Bishop Berkeley)에 의한 유명한 팜플렛 The Analyst에 의해, 널리 비판되었습니다. 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy) (1823)는 라이프니츠의 무한소의 원자론에 호소없이 미분을 정의했습니다. 대신에, 달랑베르(d'Alembert) 다음의, 코시는 라이프니츠와 그의 후계자의 논리적 순서를 뒤집었습니다: 도함수 자체는 기본 대상이 되었으며, 차이 몫의 극한(limit)으로 정의되었고, 미분은 그런-다음 그것의 관점에서 정의되었습니다. 즉, 우리는 다음 표현에 의해 미분 dy를 자유롭게 정의할 수 있었습니다:

\(\quad\displaystyle dy = f'(x)\,dx\)

그것에서 dy와 dx는, 그들이 라이프니츠에 대해 그래왔던 것처럼 고정된 무한소가 아닌, 유한 실수 값을 취하는 단순한 새로운 변수입니다.

Boyer (1959, p. 12)에 따르면, 코시의 접근은 라이프니츠의 무한소 접근에 비해 유의미한 논리적 개선이었는데, 왜냐하면 무한소의 형이상학적 개념을 불러일으키는 대신에, 양 dy와 dx는, 의미있는 방법으로 임의의 다른 실수 양처럼, 정확히 같은 방식에서 이제 조작될 수 있기 때문입니다. 미분에 대한 코시의 전반적인 개념적인 접근은, 비록 엄격함에 대한 최종적인 단어, 극한의 완전히 현대적인 개념은 궁극적으로 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 기인할지라도, 현대 해석적 처리에서 표준적인 것으로 남아 있습니다.

열역학(thermodynamics)의 이론에 적용된 그것들처럼, 물리적 처리에서, 무한소의 관점은 여전히 우세합니다. Courant & John (1999, p. 184)은 무한소 미분의 물리적 사용을 다음처럼 그들의 수학적 불가능성을 조정합니다. 미분은 그들이 의도되는 것에 대해 특정 목적에 요구되는 정확도의 정도보다 더 작은 유한 비-영 값을 나타냅니다. 따라서 "물리적 무한소"는 정확한 의미를 갖기 위해 대응하는 수학적 무한소에 호소할 필요가 없습니다.

수학적 해석학(mathematical analysis) 및 미분 기하학(differential geometry)에서 20세기 발전에 따라, 그것은 함수의 미분의 개념이 다양한 방법으로 확장될 수 있음이 명확하게 되었습니다. 실 해석학(real analysis)에서, 함수의 증분의 주요 부분으로 미분을 직접 처리하는 것이 더 바람직합니다. 이것은 한 점에서 함수의 미분이 증분 Δx의 선형 함수형(linear functional)이라는 개념으로 직접 이어집니다. 이 접근은 (선형 맵으로) 미분을 다양한 보다 정교한 공간에 대해 개발되는 것을 허용하며, 궁극적으로 프레셰(Fréchet) 또는 가르토 도함수(Gâteaux derivative)와 같은 그런 개념을 발생시킵니다. 마찬가지로, 미분 기하학(differential geometry)에서, 한 점에서 함수의 미분은 접 벡터(tangent vector) ("무한하게 작은 변위")의 선형 함수이며, 이것은 그것을 일-형식: 함수의 외부 도함수(exterior derivative)의 종류로 나타냅니다. 비-표준 미적분학(non-standard calculus)에서, 미분은 무한소로 여겨지며, 이것은 자체를 엄격한 기초 위에 놓일 수 있습니다 (미분 (무한소)를 참조하십시오).

Definition

미분은 다음처름 미분학의 현대적 처리에서 정의됩니다. 하나의 실수 변수 x의 함수 f(x)의 미분은 다음에 의해 주어진 두 독립적인 실수 변수 x와 Δx의 함수 df입니다:

\(\quad\displaystyle df(x, \Delta x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.\)

인수의 하나 또는 둘 다는 억제될 수 있으며, 즉, 우리는 df(x) 또는 간단히 df를 볼 수 있습니다. 만약 y = f(x)이면, 미분은 dy로 역시 쓰일 수 있습니다. dx(x, Δx) = Δx이므로, 그것은 dx = Δx로 쓰는 것이 전통적이므로, 다음 상등이 유지됩니다:

\(\quad\displaystyle df(x) = f'(x) \, dx\)

미분의 이 개념은 함수에 대한 선형 근사(linear approximation)를 구할 때 광범위하게 적용-가능하며, 이것에서 증분 Δx의 값은 충분히 작습니다. 보다 정확하게, 만약 f가 x에서 미분-가능한 함수(differentiable function)이면, y-값에서 차이

\(\quad\displaystyle \Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x+\Delta x) - f(x)\)

는 다음을 만족시킵니다:

\(\quad\displaystyle \Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = df(x) + \varepsilon\,\)

여기서 근사에서 오차 ε는 Δx → 0일 때 ε/Δx → 0을 만족시킵니다. 달리 말해서, 우리는 다음 근사 항등식을 가집니다:

\(\quad\displaystyle \Delta y \approx dy\)

이것에서 오차는 Δx를 충분히 작게 제한함으로써 Δx에 관해 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다. 즉 말하자면, Δx → 0일 때,

\(\quad\displaystyle \frac{\Delta y - dy}{\Delta x}\to 0\).

이 이유에 대해, 함수의 미분은 함수의 증분에서 주요 (선형) 부분(principal (linear) part)으로 알려져 있습니다: 미분은 증분 Δx의 선형 함수(linear function)이고, 비록 오차 ε은 비선형일지라도, 그것은, Δx가 영으로 경향이 있을 때, 빠르게 영으로 경향이 있습니다.

Differentials in several variables

Goursat (1904, I, §15)에 따르면, 두 개 이상의 독립 변수의 함수에 대해,

\(\quad\displaystyle  y = f(x_1,\dots,x_n), \, \)

임의의 하나의 변수 \(x_1\)에 관한 y의 부분 미분(partial differential)은 그 하나의 변수에서 변화 \(dx_1\)에 기인한 y에서 변화의 주요 부분입니다. 부분 미분은 그러므로 \(x_1\)에 관한 y의 부분 도함수(partial derivative)를 포함하는 다음입니다:

\(\quad\displaystyle  \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 \)

독립 변수의 모두에 관한 부분 미분의 합은 전체 미분(total differential)입니다:

\(\quad\displaystyle  dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, \)

이것은 독립 변수 \(x_i\)에서 변화에 기인한 y에서 변화의 주요 부분입니다.

보다 정확하게, 다변수 미적분학의 문맥에서, Courant (1937b)에 따르면, 만약 f가 미분-가능한 함수이면, 미분-가능성의 정의(definition of the differentiability)에 의해, 증분입니다:

\(\quad \begin{align}
\Delta y &{}\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x_1+\Delta x_1, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_1,\dots,x_n)\\
&{}= \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n + \varepsilon_1\Delta x_1 +\cdots+\varepsilon_n\Delta x_n
\end{align}\)

여기서 오차 항 \(\varepsilon_i\)는, 증분 \(\Delta x_i\)가 공동으로 영으로 경향이 있을 때, 영으로 경향이 있습니다. 전체 미분은 그런-다음 다음으로 엄격하게 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \Delta x_n.\)

이 정의와 함께, 다음이므로

\(\quad\displaystyle dx_i(\Delta x_1,\dots,\Delta x_n) = \Delta x_i,\)

우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle dy = \frac{\partial y}{\partial x_1}\,d x_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n}\,d x_n.\)

하나의 변수의 경우에서 처럼, 근사 항등식은 다음을 유지합니다:

\(\quad\displaystyle dy \approx \Delta y\)

이것에서 전체 오차는 충분히 작은 증분에 대한 주의를 한정함으로써 \(\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots +\Delta x_n^2}\)에 관련하여 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다.

Application of the total differential to error estimation

측정에서, 전체 미분은 매개-변수 x, y, ...의 오차 Δx, Δy, ...에 기초한 함수 f의 오차 Δf를 추정하는 것에서 사용됩니다. 구간이 변화에 대해 다음 근사적으로 선형이 되기 위해 충분히 짧다고 가정하고:

  • Δf(x) = f'(x) × Δx

모든 변수가 독립이면, 모든 변수에 대해, 다음입니다:

\(\quad \Delta f = f_x \Delta x + f_y \Delta y + \cdots\)

이것은 특정 매개변수 x에 관한 도함수 \(f_x\)가 x에서 변화, 특히 오차 Δx에 대한 함수 f의 민감도를 제공하기 때문입니다. 그들이 독립적인 것으로 가정되므로, 해석학은 최악의 시나리오를 묘사합니다. 구성 오차의 절댓값이 사용되는데, 왜냐하면 간단한 계산 후에, 도함수는 음의 부호를 가질 수 있을 것이기 때문입니다. 이 원리로부터, 합계, 곱셈 등의 오차 규칙은 도출되며, 예를 들어:

  • f(a, b) = a × b로 놓으면;
  • \(\Delta f = f_a \Delta a + f_b \Delta b\); 도함수를 평가하여
  • Δf = bΔa + aΔb; f로 나누어, 이것은 a × b입니다
  • Δf/f = Δa/a + Δb/b

다시 말하자면, 곱셈에서, 전체 상대 오차(relative error)는 매개변수의 상대 오차의 합입니다.

이것이 고려된 함수에 어떻게 의존하는지를 묘사하기 위해, 대신에 함수가 f(a, b) = a ln b인 경우를 생각해 보십시오. 그런-다음, 그것은 오차 추정이, 단순 곱의 경우에서 발견되지 않는 여분의 'ln b' 인수와 함께 다음임을 계산될 수 있습니다:

  • Δf/f = Δa/a + Δb/(b ln b)

이 추가 인수는, ln b가 아주 작은 b만큼 크지 않을 때, 오차를 더 작게 만드는 경향이 있습니다.

Higher-order differentials

단일 변수 x의 함수 y = f(x)의 고차 미분은 다음을 통해 정의될 수 있습니다:

\(\quad\displaystyle d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = (df'(x))dx = f''(x)\,(dx)^2,\)

그리고, 일반적으로,

\(\quad\displaystyle d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n.\)

비공식적으로, 이것은 고차 도함수에 대해 다음의 라이프니츠의 표기법을 정당화합니다:

\(\quad\displaystyle f^{(n)}(x) = \frac{d^n f}{dx^n}.\)

독립 변수 x 자체가 다른 변수에 의존하는 것이 허용될 때, 표현이 더 복잡해지는데, 왜냐하면 그것은 x 자체에서 역시 고차 미분을 반드시 포함하기 때문입니다. 따라서, 예를 들어,

\(\quad \begin{align}
d^2 y &= f''(x)\,(dx)^2 + f'(x)d^2x\\
d^3 y &= f'''(x)\, (dx)^3 + 3f''(x)dx\,d^2x + f'(x)d^3x 
\end{align}\)
기타 등등.

비슷한 고려-사항이 여러 변수의 함수의 고차 미분을 정의하기 위해 적용됩니다. 예를 들어, 만약 f가 두 변수 x와 y의 함수이면, 다음입니다:

\(\quad\displaystyle d^nf = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{\partial^n f}{\partial x^k \partial y^{n-k}}(dx)^k(dy)^{n-k},\)

여기서 \(\scriptstyle{\binom{n}{k}}\)는 이항 계수(binomial coefficient)입니다. 더 많은 변수에서, 이항 전개가 아니라 적절한 다항(multinomial) 전개과 함께, 유사한 표현이 유지됩니다.

여러 변수에서 고차 미분은 독립 변수 자체가 다른 변수에 의존하는 것이 허용될 때 역시 보다 복잡하게 됩니다. 예를 들어, 보조 변수에 의존하는 것이 허용되는 x와 y의 함수 f에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

\(\quad\displaystyle d^2f = \left(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(dx)^2+2\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dx\,dy + \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(dy)^2\right) + \frac{\partial f}{\partial x}d^2x + \frac{\partial f}{\partial y}d^2y.\)

이 표기법의 불행 때문에, 고차 미분의 사용은 Hadamard 1935에 의해 크게 비난받았습니다, 아다므로는 다음으로 결론 내렸습니다:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

\(d^2z = r\,dx^2 + 2s\,dx\,dy + t\,dy^2\,?\)

A mon avis, rien du tout.

즉: 마지막으로, 상등에 의해 의미되거나, 표현되는 것은 무엇입니까 [...]? 내 의견으로, 전혀 없습니다. 이 회의론에도 불구하고, 고차 미분은 해석학에서 중요한 도구로 드러났습니다.

이들 문맥에서, 증분 Δx에 적용되는 함수 f의 n차 미분은 다음으로 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle d^nf(x,\Delta x) = \left.\frac{d^n}{dt^n} f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}\)

또는 다음처럼 동등한 표현으로 정의됩니다:

\(\quad\displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\Delta^n_{t\Delta x} f}{t^n}\)

여기서 \(\Delta^n_{t\Delta x} f\)는 증분 tΔx을 갖는 n번째 전방 차이(forward difference)입니다.

이 정의는, 만약 f가 여러 변수의 함수이면 마찬가지로 말이 됩니다 (단순성에 대해 여기서 벡터 인수로 취해집니다). 그런-다음 이런 방법으로 정의된 n번째 미분은 벡터 증가 Δx에서 차수 n의 동차 함수(homogeneous function)입니다. 게다가, 점 x에서 f의 테일러 급수(Taylor series)는 다음으로 제공됩니다:

\(\quad\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x) + df(x,\Delta x) + \frac{1}{2}d^2f(x,\Delta x) + \cdots + \frac{1}{n!}d^nf(x,\Delta x) + \cdots\)

고차 가르토 도함수(Gâteaux derivative)는 이들 고려-사항을 무한 차원 공간으로 일반화합니다.

Properties

미분의 많은 속성은 도함수, 부분 도함수, 및 전체 도함수의 대응하는 속성으로부터 직접적인 방식으로 따릅니다. 이들은 다음을 포함합니다:

이들 두 속성을 갖는 연산 d는 추상 대수학(abstract algebra)에서 도함수(derivation)로 알려져 있습니다. 그들은 다음 거듭제곱 규칙을 암시합니다:

\(\quad d( f^n ) = n f^{n-1} df \)

게다가, 체인 규칙(chain rule)의 다양한 형식은 유지되고, 보편성의 증가하는 단계에서:

  • 만약 y = f(u)가 변수 u의 미분-가능한 함수이고 u = g(x)가 x의 미분-가능한 함수이면, 다음입니다:
    • \(dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.\)
  • 만약 \(y=f(x_1,...,x_n)\)과 변수 \(x_1,...,x_n\)의 모두가 또 다른 변수 t에 의존하면, 부분 도함수에 대해 체인 규칙에 의해, 우리는 다음을 가집니다:
    • \(\quad \begin{align}
      dy &= \frac{dy}{dt}dt \\
      &= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\
      &= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt}\,dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt}\,dt.
      \end{align}\)
    • 경험적으로, 여러 변수에 대한 체인 규칙은 무한하게 작은 양 dt에 의해 이 방정식의 양쪽 변을 나눔으로써 그 자체를 이해될 수 있습니다.
  • 보다 일반적인 유사한 표현은 유지되는데, 이것에서 중간 변수 \(x_i\)는 둘 이상의 변수에 의존합니다.

General formulation

미분의 일관된 개념은 두 개의 유클리드 공간(Euclidean space) 사이의 함수 \(f: \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}^m\)에 대해 개발될 수 있습니다. \(\mathbf{x}, \Delta\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n\)을 유클리드 벡터(Euclidean vector)의 쌍이라고 놓습니다. 함수 f에서 증분은 다음입니다:

\(\quad \Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).\)

만약 다음을 만족하는 m × n 행렬(matrix) A가 존재하면,

\(\quad \Delta f = A\Delta\mathbf{x} + \|\Delta\mathbf{x}\|\boldsymbol{\varepsilon}\)

이것에서 Δx → 0일 때 벡터 ε → 0이면, f는 정의에 의해 점 x에서 미분-가능입니다. 행렬 A는 때때로 야코비 행렬(Jacobian matrix)로 알려져 있고, 증분 \(\Delta \mathbf{x} \in \mathbf{R}^n\) 벡터 \(A\Delta \mathbf{x} \in \mathbf{R}^m\)에 결합된 선형 변환(linear transformation)은, 이 일반적인 설정에서, 점 x에서 f의 미분 df(x)으로 알려져 있습니다. 이것은 정확하게 프레셰 도함수(Fréchet derivative)이고, 같은 구성이 임의의 바나흐 공간(Banach space) 사이의 함수에 대해 작동하기 위해서 만들어질 수 있습니다.

또 다른 유익한 관점은 미분을 일종의 방향 도함수(directional derivative)로 직접 정의하는 것입니다:

\(\quad\displaystyle df(\mathbf{x},\mathbf{h}) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})-f(\mathbf{x})}{t} = \left.\frac{d}{dt}f(\mathbf{x}+t\mathbf{h})\right|_{t=0},\)

이것은 고차 미분을 정의하는 것에 대해 이미 취해진 접근입니다 (그리고 코시에 의해 제시된 정의와 거의 같습니다). 만약 t가 시간 및 x가 위치를 나타내면, h는, 우리가 이전에 그것을 고려해 왔던 것처럼, 변위 대신 속도를 나타냅니다. 이것은 미분의 개념의 또 다른 개선점을 여전히 산출합니다: 그것은 운동학적 속도의 선형 함수여야 합니다. 공간의 주어진 점을 통과하는 모든 속도의 집합은 접 공간(tangent space)으로 알려져 있고, 그래서 df는 접 공간 위에 선형 함수: 미분 형식(differential form)을 제공합니다. 이 해석과 함께, f의 미분은 외부 도함수(exterior derivative)로 알려져 있고, 미분 기하학(differential geometry)에서 폭넓은 응용을 가지는데, 왜냐하면 속도와 접 공간의 개념은 임의의 미분-가능한 매니폴드(differentiable manifold)에서 의미가 있기 때문입니다. 만약, 게다가, f의 출력 값이 (유클리드 공간에서) 위치를 역시 나타내면, 차원 해석학은 df의 출력 값이 반드시 속도여야 함을 확인합니다. 만약 우리가 이 방식으로 미분을 다루면, 그것은 밂(pushforward)으로 알려져 있는데, 왜냐하면 원천 공간에서 속도를 목표 공간의 속도로 "밀기" 때문입니다.

Other approaches

비록 무한소 증분 dx를 가지는 개념이 현대 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 잘-정의된 것은 아니며, 다양한 기법이 함수의 미분은 라이프니츠 표기법(Leibniz notation)과 충돌하지 않는 방식으로 처리될 수 있도록 무한소 미분(infinitesimal differential)을 정의하는 것에 대해 존재합니다. 이들은 다음을 포함합니다:

Examples and applications

미분은 계산에서 실험 오차의 전파하고, 따라서 문제의 전반적인 수치 안정성(numerical stability)을 연구하기 위해 수치 해석학에서 효과적으로 사용될 수 있습니다 (Courant 1937a). 변수 x가 실험의 결과를 나타내고 y가 x에 적용된 수치 계산의 결과라고 가정합니다. 문제는 x의 측정에서 오차가 y의 계산 결과에 어느 정도 영향을 미치는지에 있습니다. 만약 x가 그의 참 값의 Δx 이내로 알려져 있으면, 테일러의 정리(Taylor's theorem)는 y의 계산에서 오차 Δy에 대해 다음 근사를 제공합니다:

\(\quad\displaystyle \Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi)\)

여기서 어떤 0 < θ < 1에 대해 ξ = x + θΔx입니다. 만약 Δx가 작으면, 이차 항은, Δy가, 실용적인 목적에 대해, dy = f'(x)Δx에 의해 잘-근사되도록, 무시할 수 있습니다.

미분은 종종 미분 방정식(differential equation)

\(\quad\displaystyle  \frac{dy}{dx} = g(x) \)

을, 특히 우리가 변수를 분리하기를 원할 때, 다음의 형식으로

\(\quad\displaystyle  dy = g(x)\,dx, \)

다시-쓰는 것에 유용합니다.

References

External links



 
 

 

 

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