(수학의 한 분야) 미적분학(calculus)에서, 하나의 실수(real) 변수의 미분-가능 함수(differentiable function)는 그의 도함수(derivative)가 그의 도메인(domain) 안의 각 점에서 존재하는 함수입니다. 결과적으로, 미분-가능 함수의 그래프(graph)는 그의 도메인 안의 각 점에서 (비-수직(vertical)) 접선(tangent line)을 반드시 가져야 하며, 상대적으로 매끄럽고, 임의의 끊어짐, 굽힘 또는 뾰족-점(cusps)을 절대 포함할 수 없습니다.
보다 일반적으로, 만약 \(x_0\)가 함수 f의 도메인 안의 내부 점이면, f는 만약 도함수 \(f'(x_0)\)가 존재하면 \(x_0\)에서 미분-가능이라고 말합니다. 이것은 f의 그래프가 점 \((x_0,f(x_0)\)에서 비-수직 접선을 가짐을 의미합니다. 함수 f는 \(x_0\)에서 지역적으로 선형(locally linear)이라고 역시 불릴 수 있는데, 왜냐하면 그것은 이 점 근처에서 선형 함수(linear function)에 의해 잘 근사될 수 있기 때문입니다.
Differentiability of real functions of one variable
열린 집합 \(U\) 위에 정의된, 함수 \(f:U\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)는 만약 다음 동등한 조건의 임의의 것을 만족시키면 \(a\in U\)에서 미분-가능이라고 말합니다:
- 도함수 \(\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)가 존재합니다.
- \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-Lh}{h}=0\)을 만족하는 실수 \(L\)이 존재합니다. 숫자 \(L\)은, 그것이 존재할 때, \(f'(a)\)와 같습니다.
- \(\displaystyle f(a+h)=f(a)+f'(a)h+g(h)\) 및 \(\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{g(h)}{h}=0\)을 만족하는 함수 \(g:U\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)가 존재합니다.
Differentiability and continuity
만약 f가 점 \(x_0\)에서 미분-가능이면, f는 반드시 \(x_0\)에서 역시 연속(continuous)이어야 합니다. 특히, 임의의 미분-가능 함수는 그의 도메인 안의 모든 점에서 반드시 연속이어야 합니다. 그 반대는 유지되지 않습니다: 연속 함수는 미분-가능일 필요는 없습니다. 예를 들어, 굽힘, 뾰족-점(cusp), 또는 수직 접선(vertical tangent)을 가진 함수는 연속일 수 있지만, 변칙의 위치에서 미분-가능에 실패합니다.
실제에서 발생하는 대부분의 함수는 모든 점 또는 거의 모든 각 점에서 도함수를 가집니다. 어쨌든, 스테판 바나흐(Stefan Banach)의 결과는 일부 점에서 도함수를 가지는 함수의 집합은 모든 연속 함수 공간에서 마른 집합(meager set)입니다. 비공식적으로, 이것은 미분-가능 함수가 연속 함수들 사이에서 매우 비전형적인 것을 의미합니다. 어디에서나 연속적이지만 미분-가능인 곳이 없는 함수의 첫 번째 예제는 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)입니다.
Differentiability classes
함수 f는 만약 도함수 f′(x)가 존재하고 자체 연속 함수이면 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이라고 말합니다. 비록 미분-가능 함수의 도함수가 점프 불연속성(jump discontinuity)을 절대 갖지 않을지라도, 도함수에 대해 본질적인 불연속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, 함수
\(\quad\displaystyle f(x) \;=\; \begin{cases} x^2\sin (1/x) & \text{if }x \ne 0 \\ 0 & \text{if }x=0\end{cases}\)
는 0에서 미분-가능인데, 왜냐하면
\(\quad\displaystyle f'(0)=\lim_{\epsilon\to0}\left(\frac{\epsilon^2\sin(1/\epsilon)-0}{\epsilon}\right)=0,\)
가 존재하기 때문입니다. 어쨌든, x ≠ 0에 대해, 미분화 규칙(differentiation rules)은 다음임을 의미합니다:
\(\quad f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\)
이것은 x → 0일 때 극한을 가지지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 다르부의 정리(Darboux's theorem)는 임의의 함수의 도함수가 사잇값 정리(intermediate value theorem)의 결론을 만족시킴을 의미합니다.
연속적으로 미분-가능 함수는 때때로 클래스 \(C^1\)의 것으로 말합니다. 함수는 만약 함수의 일차 및 이차 도함수(second derivative) 둘 다가 존재하고 연속이면 클래스 \(C^2\)의 것입니다. 보다 일반적으로, 함수는 만약 처음 k 도함수 \(f'(x), f''(x),...,f^{k}(x)\) 모두가 존재하고 연속이면 클래스 \(C^k\)의 것으로 말합니다. 만약 도함수 f (n)가 모든 양의 정수 n에 대해 존재하면, 함수는 매끄러운(smooth) 또는 동등하게, 클래스 \(C^{\infty}\)의 것입니다.
Differentiability in higher dimensions
여러 실수 변수의 함수(function of several real variables) \(\mathbf{f} : \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n\)은 만약 다음을 만족하는 선형 맵(linear map) \(\mathbf{J} : \mathbf{R}^m \to \mathbf{R}^n\)이 존재하면 점 \(\mathbf{x_0}\)에서 미분-가능이라고 말합니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0.\)
만약 함수가 \(\mathbf{x_0}\)에서 미분-가능이면, 부분 도함수(partial derivative)의 모두가 \(\mathbf{x_0}\)에서 존재하고, 선형 맵 J는 야코비 행렬(Jacobian matrix)에 의해 제공됩니다. 고차 도함수의 비슷한 공식화는 단일-변수 미적분에서 발견되는 기본 증분 보조-정리(fundamental increment lemma)에 의해 제공됩니다.
만약 함수의 모든 부분 도함수가 점 \(\mathbf{x_0}\) 이웃(neighborhood)에 존재하고 점 \(\mathbf{x_0}\)에서 연속이면, 함수는 그 점 \(\mathbf{x_0}\)에서 미분-가능입니다.
어쨌든, 부분 도함수 (또는 심지어 모든 방향 도함수(directional derivative))의 존재는 함수가 한 점에서 미분-가능일 수 있음을 일반적으로 보증하지 않습니다. 예를 들어, 다음에 의해
\(\quad\displaystyle f(x,y) = \begin{cases}x & \text{if }y \ne x^2 \\ 0 & \text{if }y = x^2\end{cases}\)
정의된 함수 \(f : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}\)은 (0, 0)에서 미분-가능은 아니지만, 부분 도함수와 방향 도함수의 모두는 이 점에서 존재합니다. 연속적이 예제에 대해, 함수
\(\quad\displaystyle f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}\)
는 (0, 0)에서 미분-가능은 아니지만, 다시 부분 도함수와 방향 도함수의 모두는 존재합니다.
Differentiability in complex analysis
복소 해석학(complex analysis)에서, 복소-미분가능성은 단일-변수 실수 함수와 같은 정의를 사용하여 정의됩니다. 이것은 복소수를 나눌 가능성에 의해 허용됩니다. 따라서, 함수 \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)는 다음일 때 \(x=a\)에서 미분-가능이라고 말합니다:
\(\quad\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.\)
비록 이 정의는 단일-변수 실수 함수의 미분-가능성과 비슷하게 보일지라도, 어쨌든 보다 제한적인 조건이 있습니다. 점 \(x=a\)에서 복소-미분가능인 함수 \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)는 함수 \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\)로 보일 때 해당 점에서 자동으로 미분-가능입니다. 이것은 복소-미분가능성이 다음임을 의미하기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}=0.\)
어쨌든, 함수 \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\)는 여러-변수 함수로 미분-가능일 수 있지만, 복소-미분가능은 아닙니다. 예를 들어 \(f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\)는 2-변수 실수 함수 \(f(x,y)=x\)으로 보인 모든 각 점에서 미분-가능이지만, 임의의 점에서 복소-미분가능은 아닙니다.
한 점의 이웃에서 복소-미분가능인 임의의 함수는 해당 점에서 정칙(holomorphic)이라고 불립니다. 그러한 함수는 필연적으로 무한하게 미분-가능이고, 사실 해석적(analytic)입니다.
Differentiable functions on manifolds
만약 M이 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)이면, M 위에 실수 또는 복소-값 함수 f는 만약 p 주위에 정의된 일부 (또는 임의의) 좌표 도표에 관해 미분-가능이면, 점 p에서 미분-가능이라고 말합니다. 보다 일반적으로, 만약 M 및 N이 미분-가능 매니폴드이면, 함수 f: M → N은 만약 p와 f(p) 주위에 정의된 일부 (또는 임의의) 좌표 도표에 관해 미분-가능이면 점 p에서 미분-가능이라고 말합니다.
See also
References
- Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia. Math. 3 (1): 174–179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8. {{cite book}}: Unknown parameter |nopp= ignored (|no-pp= suggested) (help)