수학(mathematics)에서, 두 제곱의 차이는 하나의 제곱된(squared) (자체를 곱한 것) 숫자를 또 다른 제곱된 숫자에서 빼는 것입니다. 모든 각 제곱의 차이는 기초 대수(elementary algebra)에서 다음 항등식(identity)에 따라 인수화될 수 있습니다:
\(\quad a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\).
Proof
인수분해 항등식의 증명(proof)은 간단합니다. 왼쪽 변(left-hand side)으로부터 시작하여, 다음을 얻기 위해 분배 법칙(distributive law)을 적용하십시오:
\(\quad (a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2\)
교환 법칙(commutative law)에 의해, 중간 두 항은 제거됩니다:
\(\quad ba - ab = 0\)
그리고 다음을 남깁니다:
\(\quad (a+b)(a-b) = a^2-b^2\)
결과 항등식은 수학에서 가장 공통적으로 사용되는 것 중 하나입니다. 많은 사용 중에서, 그것은 두 변수에서 산술평균–기하평균 부등식(AM–GM inequality)의 간단한 증명을 제공합니다.
그 증명은 임의의 교환 링(commutative ring)에서 유지됩니다.
반대로, 만약 이 항등식이 원소 a와 b의 모든 쌍에 대해 링(ring) R에서 유지되면, R은 교환적입니다. 이것을 보이기 위해, 방정식의 오른쪽 변에 분배 법칙을 적용하고 다음을 얻습니다:
\(\quad a^2 + ba - ab - b^2\).
이것을 \(a^2 - b^2\)과 같게 하려면, 우리는 모든 쌍 a, b에 대해 다음임을 가져야 하므로, R은 교환적입니다:
\(\quad ba - ab = 0\).
Geometrical demonstrations
두 제곱의 차이는 역시 평면(plane)에서 두 정사각형 넓이의 차이로 기하학적으로 묘사될 수 있습니다. 그림에서, 음영된 부분의 넓이는 두 직사각형의 넓이 사이의 차이, 즉, \(a^2 - b^2\)로 표현됩니다. 음영된 부분의 넓이는 두 직사각형의 넓이를 더함으로써 구해질 수 있습니다; \(a(a-b) + b(a-b)\)이며, 이것은 \((a+b)(a-b)\)로 인수화될 수 있습니다. 그러므로, \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)입니다.
또 다른 기하학적 증명은 다음처럼 진행됩니다: 우리는 아래의 첫 번째 다이어그램, 큰 정사각형과 그것으로부터 제거된 더 작은 정사각형에서 보인 그림으로 시작합니다. 전체 정사각형의 변은 a이고, 작은 제거된 정사각형의 변은 b입니다. 음영된 영역의 넓이는 \(a^2-b^2\)입니다. 자름은 두 번째 다이어그램에서 보인 것처럼 그 영역을 두 직사각형 조각으로 분리하여 만들어집니다. 꼭대기에 더 큰 조각은 너비 a와 높이 a−b를 가집니다. 아래에 더 작은 조각은 너비 a−b이고 높이 b를 가집니다. 이제 더 작은 조각은 분리되고, 회전되고, 더 큰 조각의 오른쪽에 배치됩니다. 아래 마지막 다이어그램에서 보인, 이 새로운 정렬에서, 두 조각은 함께 그것의 너비가 \(a+b\)이고 높이가 \(a-b\)인 직사각형을 형성합니다. 이 직사각형의 넓이는 \((a+b)(a-b)\)입니다. 이 직사각형은 원래 도형을 다시-정렬한 것에서 왔으므로, 그것은 원래 도형과 같은 넓이를 가져야 합니다. 그러므로, \(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)입니다.
Uses
Factorization of polynomials and simplification of expressions
두 제곱의 차이에 대해 공식은 첫 번째 양의 제곱 빼기 두 번째 양의 제곱을 포함하는 다항식(polynomial)을 인수화하는 것에 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 다항식 \(x^4 - 1\)은 다음과 같이 인수화될 수 있습니다:
\(\quad x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)\)
두 번째 예제로서, \(x^2 - y^2 + x - y\)의 처음 두 항은 \((x + y)(x - y)\)으로 인수화될 수 있으므로, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad x^2 - y^2 + x - y = (x + y)(x - y) + x - y = (x - y)(x + y + 1)\)
게다가, 이 공식은 역시 표현을 단순화하는 것에 사용될 수 있습니다:
\(\quad (a+b)^2-(a-b)^2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab\)
Complex number case: sum of two squares
두 제곱의 차이는 복소수(complex number) 계수를 사용하여 두 제곱의 합의 선형 인수(linear factors)를 찾기 위해 사용됩니다.
예를 들어, \(z^2 + 4\)의 복소수 근은 두 제곱의 차이를 사용하여 구해질 수 있습니다:
\(\quad z^2 + 4\)
\(\quad = z^2 - i^2 \cdot 4\) (왜냐하면 \(i^2 = -1\))
\(\quad = z^2 - (2 i)^2\)
\(\quad = (z + 2 i)(z - 2 i)\)
그러므로, 선형 인수는 \((z + 2 i)\)와 \((z - 2 i)\)입니다.
이 방법에 의해 구해진 두 인수는 복소 켤레(complex conjugate)이기 때문에, 우리는 실수를 얻기 위해 복소수를 곱하는 방법으로 이것을 반대로 사용할 수 있습니다.
Rationalising denominators
두 제곱의 차이는 역시 무리수(irrational) 분모(denominator)의 유리화(rationalising)에서 사용될 수 있습니다. 이것은 표현으로부터 무리수(surds)를 제거하는 (또는 적어도 그것들을 이동하는) 방법이며, 제곱근(square root)을 포함하는 일부 조합에 의한 나눗셈에 적용됩니다.
예를 들어:
\(\displaystyle \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}\)의 분모는 다음처럼 유리화될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}\)
\(\quad\displaystyle = \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} \times \dfrac{\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 4}\)
\(\quad\displaystyle = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}\)
\(\quad\displaystyle = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{\sqrt{3}^2 - 4^2}\)
\(\quad\displaystyle = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{3 - 16}\)
\(\quad\displaystyle = -\dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{13}.\)
여기서, 무리수 분모 \(\sqrt{3} + 4\)는 \(13\)으로 유리화되었습니다.
Mental arithmetic
두 제곱의 차이는 역시 산술적 지름길로 사용될 수 있습니다. 만약 두 숫자 (그것의 평균이 쉽게 제곱되는 숫자)가 곱해지면, 두 제곱의 차이는 원래 두 숫자의 곱을 제공하기 위해 사용될 수 있습니다.
예를 들어:
\(\quad 27 \times 33 = (30 - 3)(30 + 3)\)
두 제곱의 차이를 사용하면, \(27 \times 33\)은 다음으로 다시-쓰일 수 있습니다:
\(\quad a^2 - b^2\) which is \(30^2 - 3^2 = 891\).
Difference of two consecutive perfect squares
두 연속적인 완전 제곱(perfect square)의 차이는 두 밑수(base) n과 n+1의 합입니다. 이것은 다음처럼 보일 수 있습니다:
\(\quad \begin{array}{lcl}
(n+1)^2 - n^2 & = & ((n+1)+n)((n+1)-n) \\
& = & 2n+1
\end{array}
\)
그러므로, 두 연속적인 완전 제곱의 차이는 홀수입니다. 유사하게, 두 임의의 완전 제곱의 차이는 다음처럼 계산됩니다:
\(\quad \begin{array}{lcl}
(n+k)^2 - n^2 & = & ((n+k)+n)((n+k)-n) \\
& = & k(2n+k)
\end{array}
\)
그러므로, 두 짝수 완전 제곱의 차이는 4의 배수이고 두 홀수 완전 제곱의 차이는 8의 배수입니다.
Factorization of integers
숫자 이론과 암호학에서 여러 알고리듬은 정수의 인수를 찾고 합성수를 탐지하기 위해 제곱의 차이를 사용합니다. 간단한 예제는 페르마 인수분해 방법(Fermat factorization method)이며, \(a_i:=\left\lceil \sqrt{N}\right\rceil+i\)에 대해 숫자 \(x_i:=a_i^2-N\)의 수열에서 고려합니다. 만약 \(x_i\) 중 하나가 완전 제곱 \(b^2\)과 같으면, \(N=a_i^2-b^2=(a_i+b)(a_i-b)\)은 \(N\) (잠재적으로 비-자명한) 인수분해입니다.
이 트릭은 다음처럼 일반화될 수 있습니다. 만약 \(a^2\equiv b^2\) 모드 \(N\)이고 \(a\not\equiv \pm b\) 모드 \(N\)이면, \(N\)은 인수 \(\gcd(a-b,N)\)와 \(\gcd(a+b,N)\)로 합성됩니다. 이것은 (이차 체(quadratic sieve)와 같은) 여러 인수분해 알고리듬의 기초를 형성하고 더 강한 밀러–라빈 소수성 테스트(Miller–Rabin primality test)를 제공하기 위해 페르마 소수성 테스트(Fermat primality test)와 결합될 수 있습니다.
Generalizations
항등식은 역시 유클리드 벡터(Euclidean vector)의 점 곱(dot product)에 대한 것처럼 실수(real numbers)의 필드(field)에 걸쳐 안의 곱 공간(inner product space)에서 유지됩니다:
\(\quad {\mathbf a}\cdot{\mathbf a} - {\mathbf b}\cdot{\mathbf b} = ({\mathbf a}+{\mathbf b})\cdot({\mathbf a}-{\mathbf b})\)
증명은 동일합니다. 그 방법에 의해, a와 b가 같은 노름(norms)을 가짐 (이것은 그들의 점 제곱이 같음을 의미함)을 가정하여, 그것은 마름모(rhombus)의 두 대각선이 직교(perpendicular)한다는 사실을 해석적(analytically)으로 시연합니다. 이것은 방정식의 왼쪽 변이 0과 같기 때문에, 오른쪽 변도 마찬가지로 영과 같아야 함을 따르고, 따라서 a + b의 벡터 합 (마름모의 긴 대각선)과 점된 벡터 차이 a − b (마름모의 짧은 대각선)는 영과 같아야 하며, 이것은 대각선이 직교함을 나타냅니다.
Difference of two nth powers
만약 a와 b가 교환 링 R의 두 원소이면, \(a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k\right)\)입니다.
History
역사적으로, 바빌로니아 사람들은 곱셈을 계산하기 위해 두 제곱의 차이를 사용했습니다.
예를 들어:
93 x 87 = 90² - 3² = 8091
64 x 56 = 60² - 4² = 3584
See also
- Congruum, the shared difference of three squares in arithmetic progression
- Conjugate (algebra)
- Factorization
References
- Stanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Infobase Publishing. p. 131. ISBN 0-8160-5124-0.
- Tussy, Alan S.; Gustafson, Roy David (2011). Elementary Algebra (5th ed.). Cengage Learning. pp. 467–469. ISBN 978-1-111-56766-8.
External links
- difference of two squares at mathpages.com