수학(mathematics)에서, 데카르트의 부호의 규칙(Descartes' rule of signs)은, 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 그의 작품 La Géométrie에서 처음으로 설명되었으며, 다항식(polynomial)의 양의 실수 근(roots)의 숫자에 대한 정보를 얻는 기법입니다. 그것은 양의 근의 숫자는 다항식 계수의 수열에서 많아야 부호 변경의 횟수 (영 계수를 생략)이고, 이들 두 숫자의 차이는 항상 짝수임을 주장합니다. 이것은, 특히, 만약 부호 변경의 숫자가 영 또는 일이면, 각각 정확하게 영 또는 일의 양근이 있음을 의미합니다.
변수의 호모그래픽 변환(homographic transformation)에 의해, 우리는 임의의 구간에서 근의 숫자에 대한 유사한 정보를 얻는 것에 대해 데카르트의 부호의 규칙을 사용할 수 있습니다. 이것이 부단의 정리(Budan's theorem)와 부단–푸리에 정리(Budan–Fourier theorem)의 기본 개념입니다. 구간을 두 구간으로 나눔을 반복함으로써, 우리는 결국 다항식의 모든 실수 근을 포함하고, 각각 정확히 하나의 실수 근을 포함하는 서로소 구간의 목록을 얻습니다. 데카르트의 부호의 규칙과 변수의 호모그래픽 변환은, 현재, 다항식의 실수 근을 컴퓨터 계산에 대해 가장 빠른 알고리듬의 기초입니다 (실수-근 분리(Real-root isolation)를 참조하십시오).
데카르트 자신은 음의 근의 숫자의 정보를 얻는 것에 대해 자신의 규칙을 사용하여 변환 x → –x을 사용했습니다.
Descartes' rule of signs
Positive roots
규칙은 실수(real) 계수(coefficient)를 갖는 단일-변수 다항식(polynomial)의 비-영 항이 내림차순 변수 지수에 의해 정렬되면, 다항식의 양의 근(roots)의 숫자가 연속적인 (비-영) 계수 사이의 부호 변경의 숫자와 같거나, 그것보다 짝수만큼 작습니다. 중복도(multiplicity) k의 근은 k 근으로 세어집니다.
특히, 만약 부호 변경의 횟수가 영 또는 일이면, 양의 근의 숫자는 부호 변경의 횟수와 같습니다.
Negative roots
규칙의 따름정리(corollary)로서, 음의 근의 숫자는 홀수-거듭제곱 항의 계수에 −1을 곱하거나, 그것보다 짝수만큼 적은 후 부호 변경 횟수입니다. 이 절차는 변수 자체에 대해 변수의 부정으로 대체하는 것과 동등합니다. 예를 들어, \(ax^3+bx^2+cx+d\)의 음의 근은 다음의 양의 근입니다:
\(\quad a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d = -ax^3+bx^2-cx+d. \)
따라서, 이 다항식에 데카르트의 부호의 규칙을 적용하는 것은 원래 다항식의 음의 근의 최대 숫자를 제공합니다.
Example: real roots
다음 다항식은
\(\quad f(x) = + x^3 + x^2 - x - 1 \)
두 번째와 세 번째 항 사이에 하나의 부호 변경을 가집니다 (부호의 수열은 {{math|(+, +, –, –)}}입니다). 그러므로 그것은 정확히 하나의 양의 근을 가집니다.
음의 근의 숫자를 찾기 위해, 홀수 지수를 갖는 항의 계수의 부호를 변경합니다. 즉, 다음 다항식을 얻기 위해, 다항식 \(f(-x)\)에 데카르트의 부호의 규칙을 적용합니다:
\(\quad f(-x)= - x^3 + x^2 + x - 1 .\)
이 다항식은 두 부호 변경을 가집니다 (부호의 수열은 {{math|(–, +, +, –)}}입니다), 이 두 번째 다항식은 둘 또는 영 양의 근을 가짐을 의미합니다; 따라서 원래 다항식은 둘 또는 영 음의 근을 가집니다.
사실, 첫 번째 다항식의 인수분해(factorization)는 다음입니다:
\(\quad f(x)=(x + 1)^{2}(x - 1), \)
따라서 근은 –1 (두번) 및 +1 (한번)입니다.
두 번째 다항식의 인수분해는 다음입니다:
\(\quad f(-x)=-(x - 1)^{2}(x + 1), \)
따라서 여기서, 근은 +1 (두번) 및 –1 (한번), 원래 다항식의 근의 부정입니다.
Nonreal roots
임의의 n번째 차수 다항식은, 만약 중복도를 따라 세면, 복소 평면(complex plane)에서 정확히 n 근을 가집니다. 따라서 만약 f(x)가 0에서 근을 가지지 않는 다항식이면 (즉 비-영 상수 항을 갖는 다항식이면), 비-실수 근의 최소 숫자는 다음과 같습니다:
\(\quad n-(p+q),\)
여기서 p는 양의 근의 최대 숫자를 나타내고, q는 음의 근의 최대 숫자를 나타내고 (그것들의 둘 다는 데카르트의 부호의 규칙을 사용하여 구해질 수 있습니다), n은 방정식의 차수를 나타냅니다.
Example: some zero coefficients and nonreal roots
다음 다항식은
\(\quad f(x) = x^3-1 ,\)
하나의 부호 변경을 가집니다; 따라서 양의 실수 근의 숫자는 일입니다. 다음 방정식은
\(\quad f(-x) = -x^3-1 ,\)
부호 변경을 가지지 않기 때문에, 원래 다항식은 음의 실수 근을 가지지 않습니다. 따라서 비-실수 근의 숫자는 다음입니다:
\(\quad 3 - (1+0) = 2 \, .\)
실수 계수를 갖는 다항식의 비-실수 근은 켤레 쌍에서 발생해야 하기 때문에, 그것은 \(x^3-1\)이 정확히 두 비-실수 근과 양수인 하나의 실수 근을 가짐을 의미합니다.
Special case
양의 근의 최대 숫자에서 오직 2의 배수의 뺄셈이 발생하는데 왜냐하면 다항식이 비-실수 근을 가질 수 있기 때문이며, 이것은 항상 쌍으로 계수가 실수 인 다항식에 규칙이 적용되기 때문에 항상 쌍을 이루는데 왜냐하면 규칙은 그것의 계수가 실수인 다항식에 적용되기 때문입니다. 따라서 만약 다항식이 모두 실수 근을 가진다고 알려져 있으면, 이 규칙은 정확한 양의 근과 음의 근을 찾는 것을 허용합니다. 영의 중복도를 근으로 결정하는 것이 쉽기 때문에, 모든 근의 부호는 이 경우에서 결정될 수 있습니다.
Generalizations
만약 실수 다항식 P가 중복도와 함께 세어진 k 실수 양의 근을 가지면, 모든 각 a > 0에 대해, 함수 \(e^{ax}P(x)\)의 테일러 급수의 계수의 수열에서 적어도 k 부호의 변경이 있습니다. 충분히 큰 a에 대해, 정확하게 k 그러한 부호의 변경이 있습니다.
1970년대에, 아스콜 흐반스키(Askold Khovanskii)는 데카르트의 규칙을 일반화하는 fewnomial의 이론을 개발했습니다. 부호의 규칙은 다항식의 실수 근의 숫자가 다항식의 복잡도에 의존하고, 이 복잡도는 그것의 차수가 아닌 그것이 가지는 단항식의 숫자에 비례한다는 것을 나타내는 것으로 생각될 수 있습니다. 흐반스키는 이것이 다항식뿐만 아니라, 많은 초월적 함수, 소위 파피안 함수(Pfaffian function)의 대수적 조합에도 참을 유지함을 보여주었습니다.
See also
- Sturm's theorem
- Rational root theorem
- Geometrical properties of polynomial roots
- Gauss–Lucas theorem
External links
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- Descartes' Rule of Signs – Proof of the rule
- Descartes' Rule of Signs – Basic explanation
