수학(mathematics)에서 드 무아브르의 공식(de Moivre's formula , 역시 드 무아브르의 정리 및 드 무아브르의 항등식으로 알려져 있음)은 임의의 실수(real number) x와 정수(integer) n에 대해 그것은 다음임을 유지합니다:
\(\quad\displaystyle \big(\cos x + i \sin x\big)^n = \cos nx + i \sin nx,\)
여기서 i는 허수 단위(imaginary unit) (\(i^2=-1\))입니다. 그 공식은 아브라암 드 무아브르(Abraham de Moivre)의 이름을 따서 지어졌지만, 그는 결코 그의 연구에서 그것을 말하지 않았습니다. 표현 cos x + i sin x은 때때로 cis x로 축약됩니다.
공식은 중요한데 왜냐하면 그것은 복소수(complex numbers)와 삼각법(trigonometry)을 연결하기 때문입니다. x가 실수라는 가정 아래에서 왼쪽 변을 전개하고 그런-다음 실수 부분과 허수 부분을 비교함으로써, cos x와 sin x의 관점에서 cos nx와 sin nx에 대한 유용한 표현을 유도할 수 있습니다.
쓰인 것처럼, 그 공식은 비-정수 거듭제곱 n에 대해 유효하지 않습니다. 어쨌든, 다른 지수에 대해 유효한 이 공식의 일반화가 있습니다. 이것들은 단위의 n번째 근, 즉 \(z^n=1\)을 만족하는 복소수(complex numbers) z에 대해 명시적 표현을 제공하기 위해 사용될 수 있습니다.
Example
\( x = 30^\circ\)와 \( n = 2\)에 대해, 드 무아브르의 공식은 다음임을 주장합니다:
\(\quad\displaystyle \left(\cos(30^\circ) + i \sin(30^\circ)\right)^2 = \cos(2 \cdot 30^\circ) + i \sin (2 \cdot 30^\circ),\)
또는 동등하게 다음임을 주장합니다:
\(\quad\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}.\)
이 예제에서, 왼쪽 변을 곱함으로써 방정식의 타당성을 쉽게 확인할 수 있습니다.
Relation to Euler's formula
드 무아브르의 공식은 다음 오일러의 공식(Euler's formula)에 대한 전조물입니다:
\(\quad\displaystyle e^{ix} = \cos x + i\sin x,\)
이것은 삼각 함수와 복소 지수 함수 사이의 기본 관계를 설립합니다.
우리는 오일러의 공식과 정수 거듭제곱에 대해 지수 법칙(exponential law)을 사용하여 드 무아브르의 공식을 유도할 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle \left( e^{ix} \right)^n = e^{inx}, \)
왜냐하면 오일러의 공식은 왼쪽 변이 \(\left(\cos x + i\sin x\right)^n\)과 같지만 오른쪽 변이 다음과 같음을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle e^{inx} = \cos nx + i\sin nx.\)
Proof by induction
드 무아브르의 정리의 진실은 자연수에 대한 수학적 귀납법을 사용함으로써 설립될 수 있고, 거기에서 모든 정수로 확장될 수 있습니다. 정수 n에 대해, 다음 명제 S(n)을 부릅니다.
\(\quad\displaystyle (\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.\)
n > 0에 대해, 우리는 수학적 귀납법(mathematical induction)에 의해 진행합니다. S(1)은 명백하게 참입니다. 우리의 가설에 의해, 우리는 S(k)가 어떤 자연수 k에 대해 참이라고 가정합니다. 즉, 우리는 다음임을 가정합니다:
\(\quad\displaystyle \left(\cos x + i \sin x\right)^k = \cos kx + i \sin kx. \)
이제, S(k + 1)을 생각해 보십시오:
\(\quad \begin{alignat}{2}
\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
& = \left(\cos kx + i\sin kx \right) \left(\cos x+i\sin x\right) &&\qquad \text{by the induction hypothesis}\\
& = \cos kx \cos x - \sin kx \sin x + i \left(\cos kx \sin x + \sin kx \cos x\right)\\
& = \cos ((k+1)x) + i\sin ((k+1)x) &&\qquad \text{by the trigonometric identities}
\end{alignat}\)
각도 합과 차이 항등식(angle sum and difference identities)을 참조하십시오.
우리는 S(k)가 S(k + 1)을 의미한다고 추론합니다. 수학적 귀납의 원리에 의해, 그것은 결과가 모든 자연수에 대해 참임을 따릅니다. 이제 S(0)는 명백하게 참인데 왜냐하면 cos(0x) + i sin(0x) = 1 + 0i = 1이기 때문입니다. 마지막으로, 음의 정수 경우에 대해, 우리는 자연 n에 대해 −n의 지수를 고려합니다.
\(\quad \begin{align}
\left(\cos x + i\sin x\right)^{-n} & = \big( \left(\cos x + i\sin x\right)^n \big)^{-1} \\
& = \left(\cos nx + i\sin nx\right)^{-1} \\
& = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\
\end{align}\)
방정식 (*)는 z = cos nx + i sin nx에 대해 다음 항등식의 결과입니다:
\(\quad\displaystyle z^{-1} = \frac{\bar z}{|z|^2},\)
따라서, S(n)은 모든 정수 n에 대해 유지됩니다.
Formulae for cosine and sine individually
복소수(complex number)의 상등에 대해, 우리는 반드시 방정식의 두 구성원 둘 다의 실수 부분(real part)과 허수 부분(imaginary part) 모두 상등을 가집니다. 만약 x이고, 따라서 역시 cos x와 sin x가 실수(real number)이면, 이들 부분의 항등식은 이항 계수(binomial coefficient)를 사용하여 쓰일 수 있습니다. 이 공식은 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)에 의해 제공되었습니다:
\(\quad \begin{align}
\sin nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\sin\frac{(n-k)\pi}{2} \\
\cos nx &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\cos x)^k\,(\sin x)^{n-k}\,\cos\frac{(n-k)\pi}{2}.
\end{align}\)
이들 두 방정식의 각각에서, 최종 삼각 함수는 일 또는 음의 일 또는 영과 같으므로, 각 합계에서 엔트리의 절반을 제거합니다. 이들 방정식은 실제로 심지어 x의 복소 값에 대해 유효한데, 왜냐하면 양쪽 변이 x의 전체(entire) (즉, 전체 복소 평면(complex plane)에서 정칙(holomorphic)) 함수이고, 실수 축에서 일치하는 두 그러한 함수가 반드시 모든 곳에서 일치하기 때문입니다. 다음은 n = 2와 n = 3에 대해 이들 방정식의 구체적인 예제입니다:
\(\quad \begin{alignat}{2}
\cos 2x &= \left(\cos x\right)^2 +\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 2\left(\cos x\right)^2-1 \\
\sin 2x &= 2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right) & & \\
\cos 3x &= \left(\cos x\right)^3 +3\cos x\left(\left(\cos x\right)^2-1\right) &{}={}& 4\left(\cos x\right)^3-3\cos x \\
\sin 3x &= 3\left(\cos x\right)^2\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^3 &{}={}& 3\sin x-4\left(\sin x\right)^3.
\end{alignat}\)
cos nx에 대해 공식의 오른쪽-변은 사실 cos x에서 체비쇼프 다항식(Chebyshev polynomial) \(T_n\)의 값 \(T_n (\cos x)\)입니다.
Failure for non-integer powers, and generalization
드 무아브르의 공식은 비-정수 거듭제곱에 대해 유지되지 않습니다. 위의 드 무아브르의 공식의 유도는 정수 거듭제곱 n을 올린 복소수를 포함합니다. 만약 복소수가 비-정수 거듭제곱을 올리면, 결과는 다중-값(multiple-valued)입니다 (거듭제곱과 로그 항등식의 실패(failure of power and logarithm identities)를 참조하십시오). 예를 들어, \(n=\tfrac12\)일 때, 드 무아브르의 공식은 다음 결과를 제공합니다:
- x = 0에 대해 공식은 \(1^{1/2}=1\)을 제공하고,
- x = 2π에 대해 공식은 \(1^{1/2}=-1\)을 제공합니다.
이것은 같은 표현 \(1^{1/2}\)에 대해 두 다른 값을 할당하므로, 그 공식은 이 경우에서 일치하지 않습니다.
다른 한편으로, 값 1과 −1은 1의 두 제곱근입니다. 보다 일반적으로, 만약 z와 w가 복소수이면, 다음은
\(\quad\displaystyle \left(\cos z + i\sin z\right)^w\)
다중-값이지만, 다음은
\(\quad\displaystyle \cos wz + i \sin wz\)
그렇지 않습니다. 어쨌든, 다음은
\(\quad\displaystyle \cos wz + i \sin wz\)
다음의 값 중 하나임은 항상 그런 경우입니다:
\(\quad\displaystyle \left(\cos z + i\sin z\right)^w.\)
Roots of complex numbers
이 기사에서 제공된 드 무아브르의 공식의 버전의 적당한 확장은 복소수의 n번째 근 (nth roots) (동등하게, \(\tfrac{1}{n}\)의 거듭제곱)을 찾기 위해 사용될 수 있습니다
만약 z가 다음처럼 극 형식(polar form)에서 쓰인 복소수이면,
\(\quad\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),\)
z의 n n번째 근은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle r^\frac1n \left( \cos \frac{x+2\pi k}{n} + i\sin \frac{x+2\pi k}{n} \right)\)
여기서 k는 0에서 n − 1까지 정수 값에 걸쳐 변합니다.
이 공식은 역시 때때로 드 무아브르의 공식으로 알려져 있습니다.
Analogues in other settings
Hyperbolic trigonometry
\(\cosh x + \sinh x =e^x\)이므로, 드 무아브르의 공식에 대한 아날로그는 역시 쌍곡 삼각법(hyperbolic trigonometry)에 적용됩니다. 모든 \(n\in \mathbb{Z}\)에 대해,
\(\quad (\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx.\)
역시, 만약 \(n \in \mathbb{Q}\)이면, \((\cosh x + \sinh x)^n\)의 하나의 값은 \(\cosh x+\sinh nx\)일 것입니다.
Extension to complex numbers
공식은 임의의 복소수 \(z=x+iy\)에 대해 유지됩니다:
\(\quad ( \cos z + i \sin z)^n = \cos {nz} + i \sin {nz}.\)
여기서
\(\quad \begin{align} \cos z = \cos(x + iy) &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\, , \\
\sin z = \sin(x + iy) &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\, . \end{align}\)
Quaternions
쿼터니언(quaternion)의 근을 찾기 위해, 드 무아브르의 공식의 유사한 형식이 있습니다. 다음 형식에서 쿼터니언은
\(\quad\displaystyle d + a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}\)
다음 형식에서 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle q = k(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mbox{for } 0 \leq \theta < 2 \pi.\)
이 표현에서,
\(\quad\displaystyle k = \sqrt{d^2 + a^2 + b^2 + c^2},\)
그리고 삼각 함수는 다음으로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \cos \theta = \frac{d}{k} \quad \mbox{and} \quad \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{k}.\)
{{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> ≠ 0}}인 경우에서, 다음, 즉, 단위 벡터입니다:
\(\quad\displaystyle \varepsilon = \pm \frac{a\mathbf{\hat i} + b\mathbf{\hat j} + c\mathbf{\hat k}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
이것은 드 무아브르의 공식의 변형으로 이어집니다:
\(\quad\displaystyle q^n = k^n(\cos n \theta + \varepsilon \sin n \theta).\)
Example
다음의 세제곱 근(cube root)을 찾기 위해:
\(\quad\displaystyle Q = 1 + \mathbf{\hat i} + \mathbf{\hat j}+ \mathbf{\hat k},\)
다음 형식에서 쿼터니언을 씁니다:
\(\quad\displaystyle Q = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \varepsilon \sin \frac{\pi}{3}\right) \qquad \mbox{where } \varepsilon = \frac{\mathbf{\hat i} + \mathbf{\hat j}+ \mathbf{\hat k}}{\sqrt 3}.\)
그런-다음 세제곱 근은 다음에 의해 제공됩니다:
\(\quad\displaystyle \sqrt[3]{Q} = \sqrt[3]{2}(\cos \theta + \varepsilon \sin \theta) \qquad \mbox{for } \theta = \frac{\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}.\)
2×2 matrices
다음 행렬을 생각해 보십시오:
\(\quad\displaystyle A=\begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}\). Then \(\begin{pmatrix}\cos\phi & \sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\cos n\phi & \sin n\phi \\ -\sin n\phi & \cos n\phi \end{pmatrix}\).
이 사실 (비록 그것이 복소수에 대해 매우 똑같은 방법에서 입증될 수 있을지라도)은 유형 \(\begin{pmatrix}a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\)의 행렬의 공간이 복소수의 공간에 동형이라는 사실의 직접 결과입니다.
References
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of Mathematical Functions. New York: Dover Publications. p. 74. ISBN 0-486-61272-4..
External links
- De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.