유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 순환 사변형(cyclic quadrilateral) 또는 내접된 사변형(inscribed quadrilateral)은 그것의 꼭짓점(vertices) 모두가 단일 원(circle) 위에 놓이는 사변형(quadrilateral)입니다. 이 원은 둘레원(circumcircle) 또는 둘레접된 원(circumscribed circle)이라고 불리고, 그 꼭짓점은 일치순환(concyclic)이라고 말합니다. 원의 중심과 그 반지름은 각각 둘레중심(circumcenter)과 둘레반지름(circumradius)이라고 불립니다. 이들 사변형에 대해 다른 이름은 일치순환 사변형(concyclic quadrilateral)과 현모양 사변형(chordal quadrilateral)이며, 후자는 사변형의 변이 둘레원의 현(chords)이기 때문입니다. 보통 사변형은 볼록(convex)한 것으로 가정되지만, 역시 교차된 순환 사변형이 있습니다. 아래에 주어진 공식과 속성은 볼록한 경우에 유효합니다.
단어 순환은 "원" 또는 "바퀴"를 의미하는 고대 그리스어(Ancient Greek) κύκλος (kuklos)에서 유래했습니다.
모든 삼각형(triangle)은 둘레원(circumcircle)을 가지지만, 모든 사각형에 둘레원이 있는 것은 아닙니다. 순환될 수 없는 사변형의 예제는 비-정사각형 마름모(rhombus)입니다. 아래 특성화(characterizations) 섹션은 사각형이 둘레원을 가지기 위해 만족시켜야 하는 필요와 충분 조건(iff)임을 말합니다.
Special cases
임의의 정사각형(square), 직사각형(rectangle), 이등변 사다리꼴(isosceles trapezoid), 또는 역평행사변형(antiparallelogram)은 순환적입니다. 연(kite)이 순환적인 것과 그것이 두 개의 직각을 가지는 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 이-중심 사변형(bicentric quadrilateral)은 역시 접하는(tangential) 것인 순환 사변형이고, 외-이중심 사변형(ex-bicentric quadrilateral)은 역시 외-접하는(ex-tangential) 것인 순환 사변형입니다. 조화 사변형(harmonic quadrilateral)은 반대 변의 길이의 곱이 같은 순환 사변형입니다.
Characterizations
Circumcenter
볼록 사변형이 순환적인 것과 변에 수직(perpendicular)인 이등분선 4개가 공점(concurrent)인 것은 필요충분 조건입니다. 이 공통 점은 둘레-중심(circumcenter)입니다.
Supplementary angles
볼록 사변형 ABCD가 순환적인 것과 그것의 반대 각이 보충적(supplementary)인 것은 필요충분 조건입니다. 즉,
\(\quad \alpha + \gamma = \beta + \delta = \pi \ \text{radians}\ (= 180^{\circ}).\)
직접 정리는 유클리드의 원론(Elements) 3 권의 제안 22였습니다. 동등하게, 볼록 사변형이 순환적인 것과 각 외부 각도(exterior angle)가 반대 내부 각도(interior angle)와 같은 것은 필요충분 조건입니다.
1836년 던컨 그레고리(Duncan Gregory)는 이 결과를 다음과 같이 일반화했습니다: 임의의 볼록 순환 2n-각형이 주어지면, 교대(alternate) 내각의 두 합은 각각 \((n-1)\pi\)와 같습니다.
각 각도의 입체 투영 (절반-각도 탄젠트)을 취하면, 이것은 다시-표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \frac
{ \tan{\frac{\alpha}{2}} + \tan{\frac{\gamma}{2}} }
{ 1 - \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} }
= \frac
{ \tan{\frac{\beta}{2}} + \tan{\frac{\delta}{2}} }
{ 1 - \tan{\frac{\beta}{2}} \tan{\frac{\delta}{2}} }
= \infty.\)
이것은 다음임을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle \tan{\frac{\alpha}{2}} \tan{\frac{\gamma}{2}} = \tan{\frac{\beta}{2}}{\tan \frac{\delta}{2}} = 1\)
Angles between sides and diagonals
볼록 사변형 ABCD이 순환적인 것과 한 변과 대각선 사이의 각도가 반대쪽 변과 다른 대각선 사이의 각도와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 즉, 예를 들어,
\(\quad \angle ACB = \angle ADB.\)
Pascal Points
볼록 사변형 ABCD가 순환적이 되기 위한 또 다른 필요와 충분 조건은 다음과 같습니다: E를 대각선의 교차점이라고 놓고, F를 변 AD와 BC의 연장선의 교차점이라고 놓고, \(\omega\)를 그것의 지름이 선분 EF인 원으로 놓고, P와 Q를 원 \(\omega\)에 의해 형성된 변 AB와 CD의 파스칼 점이라고 놓습니다.
(1) ABCD가 순환 사변형인 것과 점 P와 Q가 원 \(\omega\)의 중심 O와 공동선형인 것은 필요충분 조건입니다.
(2) ABCD가 순환 사변형인 것과 점 P와 Q가 변 AB와 CD의 중간점인 것은 필요충분 조건입니다.
Intersection of diagonals
만약 두 직선이, 선분 AC를 포함하는 하나와 선분 BD를 포함하는 다른 하나, E에서 교차하면, 네 점 A, B, C, D가 일치순환인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:
\(\quad AE\cdot EC = BE\cdot ED.\)
교차점 E는 원의 내부 또는 외부에 있을 수 있습니다. 전자의 경우에서, 순환 사변형은 ABCD이고, 후자의 경우에서, 순환 사변형은 ABDC입니다. 교차점이 내부에 있을 때, 상등은 E가 한 대각선을 나누는 선분 길이의 곱이 다른 대각선의 곱과 같음을 나타냅니다. 이것은 순환 사변형의 대각선이 둘레원의 현이기 때문에 교차하는 현 정리(intersecting chords theorem)로 알려져 있습니다.
Ptolemy's theorem
프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)는 순환 사변형의 두 대각선 e와 f의 길이의 곱이 반대 변의 곱의 합과 같음을 표현합니다:
\(\quad \displaystyle ef = ac + bd,\)
여기서 a, b, c, d는 순서대로 변 길이입니다. 그 전환(converse)은 역시 참입니다. 즉, 만약 이 방정식이 볼록 사변형에서 만족시키면, 순환 사변형이 형성됩니다.
Diagonal triangle
볼록 사변형 ABCD에서, EFG를 ABCD의 대각선 삼각형이라고 놓고 \(\omega\)를 EEFG의 아홉-점 원이라고 놓습니다. ABCD가 순환적인 것과 ABCD의 쌍-중앙선(bimedian)의 교차 점이 아홉-점 원 \(\omega\)에 속하는 것은 필요충분 조건입니다.
Area
변 a, b, c, d를 갖는 순환 사변형의 넓이(area) K는 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)에 의해 제공됩니다:
\(\quad K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,\)
여기서 s, 반-둘레(semiperimeter)는 \(s=\tfrac12 (a+b+c+d)\)입니다. 이것은 일반 사변형에 대해 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)의 따름정리(corollary)인데, 왜냐하면 반대 각도가 순환 경우에서 보충적이기 때문입니다. 만약 역시 d = 0이면, 순환 사변형은 삼각형이 되고 그 공식은 헤론의 공식(Heron's formula)으로 축소됩니다.
순환 사변형은 (순서에 관계없이) 같은 변 길이를 가지는 모든 사변형 중에서 최대(maximal) 넓이를 가집니다. 이것은 브레치나이더 공식에 대한 또 다른 따름정리입니다. 그것은 미적분학(calculus)을 사용하여 입증될 수도 있습니다.
각각이 서로 다른 세 개의 합보다 작은 네 개의 다른 길이는 브라마굽타 공식에 의해 모두 같은 넓이를 가지는 세 개의 비-합동 순환 사변형의 각 변입니다. 구체적으로 특별히, 변 a, b, c, 및 d에 대해, 변 a는 변 b, 변 c, 또는 변 d의 임의의 것과 반대편일 수 있습니다.
연속적인 변 a, b, c, d, 변 a와 d 사이의 각도 A, 변 a와 b 사이의 각도 B를 갖는 순환 사변형의 넓이는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}\)
또는
\(\quad\displaystyle K = \tfrac{1}{2}(ad+bc)\sin{A}\)
또는
\(\quad\displaystyle K = \tfrac{1}{2}(ac+bd)\sin{\theta}\)
여기서 θ는 대각선 사이의 두 각도입니다. A가 직각이 아니라는 조건 아래에서, 넓이는 다음과 같이 나타낼 수도 있습니다:
\(\quad\displaystyle K = \tfrac{1}{4}(a^2-b^2-c^2+d^2)\tan{A}.\)
또 다른 공식은 다음입니다:
\(\quad\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}\)
여기서 R은 둘레원(circumcircle)의 반지름입니다. 직접 결론으로,
\(\quad\displaystyle K\le 2R^2\)
여기서 상등이 있는 것과 사변형이 정사각형인 것은 필요충분 조건입니다.
Diagonals
연속적인 꼭짓점 A, B, C, D와 변 a = AB, b = BC, c = CD, 및 d = DA를 갖는 순환 사변형에서, 대각선 p = AC와 q = BD의 길이는 다음과 같이 변의 관점에서 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}\) and \(q = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}\)
따라서 프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)를 보여줍니다:
\(\quad\displaystyle pq = ac+bd.\)
프톨레마이오스의 두 번째 정리(Ptolemy's second theorem)에 따르면,
\(\quad\displaystyle \frac {p}{q}= \frac{ad+bc}{ab+cd}\)
위에서 처럼 같은 표기법을 사용합니다.
대각선의 합에 대해 다음 부등식을 가집니다:
\(\quad\displaystyle p+q\ge 2\sqrt{ac+bd}.\)
상등이 유지되는 것과 대각선이 같은 길이를 가지는 것은 필요충분 조건이며, AM-GM 부등식(AM-GM inequality)을 사용하여 입증될 수 있습니다.
게다가,
\(\quad\displaystyle (p+q)^2 \leq (a+c)^2+(b+d)^2.\)
임의의 볼록 사변형에서, 두 개의 대각선이 함께 사변형을 네 개의 삼각형으로 나눕니다; 순환 사변형에서, 이들 네 삼각형의 반대 쌍은 서로 닮았습니다(similar).
만약 M과 N이 대각선 AC와 BD의 중간점이면,
\(\quad\displaystyle \frac{MN}{EF}=\frac{1}{2}\left |\frac{AC}{BD}-\frac{BD}{AC}\right|\)
여기서 E와 F는 반대쪽 변의 연장선의 교차 점입니다.
만약 ABCD가 순환 사변형이면, 여기서 AC는 E에서 BD와 만나며,
\(\quad\displaystyle \frac{AE}{CE}=\frac{AB}{CB}\cdot\frac{AD}{CD}.\)
순환 사변형을 형성할 수 있는 변의 집합은 각각이 같은 둘레원에서 같은 넓이의 순환 사변형을 형성할 수 있는 세 개의 구별되는 순서 중 임의로 배열될 수 있습니다 (넓이는 브라마굽타의 넓이 공식에 따라 같습니다). 이들 순환 사변형 중 임의의 두 개는 공통적으로 하나의 대각선 길이를 가집니다.
Angle formulas
연속적인 변 a, b, c, d, 반둘레(semiperimeter) s, 및 변 a와 d 사이의 각도 A를 갖는 순환 사변형에 대해, A의 삼각 함수(trigonometric functions)는 다음과 같이 지정됩니다:
\(\quad\displaystyle \cos A = \frac{a^2-b^2-c^2+d^2}{2(ad+bc)},\)
\(\quad\displaystyle \sin A = \frac{2\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}{(ad+bc)},\)
\(\quad\displaystyle \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.\)
반대쪽 변 a와 c인 대각선 사이의 각도 θ는 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\displaystyle \tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}.\)
만약 반대쪽 변 a와 c의 연장선이 각도 φ에서 교차하면,
\(\quad\displaystyle \cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}\)
여기서 s는 반둘레(semiperimeter)입니다.
Parameshvara's circumradius formula
연속적인 변 a, b, c, d와 반둘레(semiperimeter) s를 갖는 순환 사변형은 다음에 의해 제공된 둘레-반지름 (둘레원(circumcircle)의 반지름)을 가집니다:
\(\quad\displaystyle R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.\)
이것은 15세기 인도 수학자 Vatasseri 파라메슈바라에 의해 유도되었습니다.
브라마굽타의 공식(Brahmagupta's formula)을 사용하여, 파라메슈바라의 공식은 다음과 같이 다시 나타낼 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle 4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}\)
여기서 K는 순환 사변형의 넓이입니다.
Anticenter and collinearities
4개의 선분은, 각각 순환 사변형의 한 변에 수직(perpendicular)이고 반대쪽 변의 중간점(midpoint)을 통과하며, 공점(concurrent)입니다. 이들 선분은 적도(maltitudes)라고 불리며, 중간점 고도에 대한 약어입니다. 그들의 공통 점을 반중심(anticenter)이라고 불립니다. 그것은 "꼭짓점 도형-중심(vertex centroid)"에서 둘레중심(circumcenter)의 반사인 속성을 가집니다. 따라서 순환 사변형에서, 둘레중심, "꼭짓점 도형중심", 및 반중심은 공선형(collinear)입니다.
순환 사변형의 대각선이 P에서 교차하고, 대각선의 중간점(midpoints)이 M과 N이면, 사변형의 반중심은 삼각형(triangle) MNP의 직교중심(orthocenter)입니다.
순환 사변형의 반중심은 꼭짓점의 퐁슬레 점(Poncelet point)입니다.
Other properties
- 순환 사변형 ABCD에서, 삼각형(triangles) DAB, ABC, BCD, 및 CDA의 내중심(incenters) \(M_1,M_2,M_3,M_4\)는 직사각형(rectangle)의 꼭짓점입니다. 이것은 일본 정리(Japanese theorem)로 알려진 정리 중 하나입니다. 동일한 4개의 삼각형의 직교중심은 ABCD에 합동(congruent)인 사변형의 꼭짓점이고, 그들 4개의 삼각형에 있는 도형-중심(centroids)은 또 다른 순환 사변형의 꼭짓점입니다.
- 둘레중심 O를 갖는 순환 사변형 ABCD에서, P를 대각선 AC와 BD가 교차하는 점이라고 놓습니다. 그런-다음 각도 APB는 각도 AOB와 COD의 산술 평균(arithmetic mean)입니다. 이것은 내접 각도 정리(inscribed angle theorem)와 외부 각도 정리(exterior angle theorem)의 직접적 결과입니다.
- 산술(arithmetic) 또는 기하 진행(geometric progression)에서 유리수 넓이와 같지 않은 유리수 변을 갖는 순환 사변형은 없습니다.
- 순환 사변형이 산술 진행(arithmetic progression)을 형성하는 변의 길이를 가지면, 사변형도 외부-이중심(ex-bicentric)입니다.
- 순환 사변형의 반대쪽 변이 E와 F에서 만나도록 연장되면, E와 F에서 내부 각도 이등분선(angle bisectors)은 수직입니다.
Brahmagupta quadrilaterals
브라마굽타 사변형(Brahmagupta quadrilateral)은 정수 변, 정수 대각선, 및 정수 넓이를 갖는 순환 사변형입니다. 변 a, b, c, d, 대각선 e, f, 넓이 K, 및 둘레반지름 R을 갖는 모든 브라마굽타 사변형은 유리수 매개변수 t, u, 및 v를 포함하는 다음 표현식에서 분모를 제거(clearing denominators)하여 얻을 수 있습니다:
\(\quad a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\)
\(\quad b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)\)
\(\quad c=t(1+u^2)(1+v^2)\)
\(\quad d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)\)
\(\quad e=u(1+t^2)(1+v^2)\)
\(\quad f=v(1+t^2)(1+u^2)\)
\(\quad K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]\)
\(\quad 4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).\)
Orthodiagonal case
Circumradius and area
직교-대각선(orthodiagonal) (수직 대각선을 가짐)이기도 한 순환 사변형에 대해, 대각선의 교차점이 한 대각선을 길이 \(p_1\)과 \(p_2\)의 선분으로 나누고 나머지 다른 대각선을 길이 \(q_1\)과 \(q_2\)의 선분으로 나눈다고 가정합니다. 그런 다음 (첫 번째 상등은 아르키메데스의 Book of Lemmas에서 제안 11입니다)
\(\quad\displaystyle D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2 \)
여기서 D는 둘레원(circumcircle)의 지름(diameter)입니다. 이것은 대각선이 원의 수직 현이기 때문에 유지됩니다. 이들 방정식은 둘레반지름(circumradius) R이 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미합니다:
\(\quad\displaystyle R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2} \)
또는, 사변형의 변의 관점에서, 다음과 같이
\(\quad\displaystyle R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}. \)
그것은 역시 다음임을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2. \)
따라서, 오일러의 사변형 정리(Euler's quadrilateral theorem)에 따라, 둘레반지름은 대각선 p와 q, 및 대각선의 중간점 사이의 거리 x의 관점으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}. \)
프톨레마이오스의 정리(Ptolemy's theorem)와 직교-대각 사변형의 넓이에 대한 공식을 결합할 때, 순환 직교-대각 사변형의 넓이(area) K에 대한 공식이 네 변의 관점에서 얻어집니다. 그 결과는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle K=\tfrac{1}{2}(ac+bd). \)
Other properties
- 순환 직교-대각 사변형에서, 반중심(anticenter)은 대각선이 교차하는 점과 일치합니다.
- 브라마굽타의 정리(Brahmagupta's theorem)는 역시 직교-대각(orthodiagonal)인 순환 사변형에 대해 대각선의 교차점을 통해 임의의 변에서 수직이 반대쪽 변을 이등분한다고 말합니다.
- 순환 사변형도 직교-대각이면, 둘레중심(circumcenter)에서 임의의 변까지의 거리는 반대쪽 변의 길이의 절반과 같습니다.
- 순환 직교-대각 사변형에서, 대각선의 중점 사이의 거리는 둘레중심과 대각선이 교차하는 점 사이의 거리와 같습니다.
Cyclic spherical quadrilaterals
구형 기하학(spherical geometry)에서, 교차하는 4개의 큰 원으로 형성된 구형 사변형이 순환적인 것과 반대쪽 각도의 합이 같은 것은 필요충분 조건, 즉, 사변형의 연속적인 각도 α, β, γ, δ에 대해 α + γ = β + δ입니다. 이 정리의 한 방향은 1786년 I. A. Lexell에 의해 입증되었습니다. Lexell은 구의 작은 원에 내접되는 구형 사변형에서 반대쪽 각도의 합이 같고, 둘레접된 사변형에서 반대쪽 변의 합이 같다는 것을 보여주었습니다. 이들 정리 중 첫 번째는 평면 정리의 구형 유사체이고, 두 번째 정리는 그것의 이중, 즉, 큰 원과 그것들의 극점을 교환한 결과입니다. Kiper et al.는 정리의 전환을 입증했습니다: 구형 사변형에서, 반대쪽 변의 합이 같으면, 이 사변형에 내접하는 원이 존재합니다.
Further reading
External links
- Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral
- Incenters in Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
- Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral at cut-the-knot
- Weisstein, Eric W. "Cyclic quadrilateral". MathWorld.