다음에서,
- 기하학(geometry), 곡선 개형-그리기(curve sketching, 또는 curve tracing)는 상세한 그림에 필요한 많은 숫자의 점의 계산 없이 그의 방정식이 주어진 평면 곡선(plane curve)의 전체 모양의 대략적인 아이디어를 생성하기 위해 사용될 수 있는 기법을 포함합니다. 그것은 그들의 주요 특징을 찾기 위해 곡선의 이론의 응용입니다. 여기서 입력은 방정식입니다.
- 디지털 기하학(digital geometry), 그것은 픽셀별로 곡선을 그리는 방법입니다. 여기서 입력은 배열 (디지털 이미지)입니다.
Basic techniques
다음은 보통 수행하기 쉽고 곡선의 모양에 대한 중요한 단서를 제공합니다:
- 곡선의 x와 y 절편을 결정하십시오. x 절편은 곡선 방정식에서 y를 0으로 설정하고 x에 대해 풀면 구해집니다. 마찬가지로, y 절편은 곡선 방정식에서 x를 0으로 설정하고 y에 대해 풀면 구해집니다.
- 곡선의 대칭을 결정하십시오. 만약 x의 지수가 곡선의 방정식에서 항상 짝수이면, y-축은 곡선에 대해 대칭(symmetry)의 축입니다. 마찬가지로, 만약 y의 지수가 곡선의 방정식에서 항상 짝수이면, x-축은 곡선에 대해 대칭의 축입니다. 만약 각 항에서 x와 y의 차수의 합이 항상 짝수 또는 항상 홀수이면, 곡선은 원점에 대한 대칭(symmetric about the origin)이고 원점은 곡선의 중심으로 불립니다.
- x와 y의 값에 대한 임의의 경계를 결정하십시오.
- 만약 곡선이 원점을 통과하면, 거기서 접선을 결정하십시오. 대수적 곡선에 대해, 이것은 방정식으로부터 가장-낮은 차수를 제외한 모든 항을 제거하고 풀면 행해질 수 있습니다.
- 마찬가지로, 방정식으로부터 가장-높은 차수를 제외한 모든 항을 제거하고 풀면 점을 제공하며 여기서 곡선은 무한대에서 직선(line at infinity)과 만납니다.
- 곡선의 점근선(asymptote)을 결정하십시오. 역시 곡선이 점근선에 접근하는 것으로부터 및 점근선이 곡선과 교차하는 곳을 결정하십시오.
- 일차(first) 및 이차 도함수(second derivative)를 0과 같게 하고 정류 점(stationary point) 및 변곡 점(inflection point)을 각각 찾으십시오. 만약 곡선의 방정식이 x 또는 y에 대해 명시적으로 절대 풀 수 없으면, 이들 도함수를 구하려면 암시적 미분화(implicit differentiation)가 필요합니다.
Newton's diagram
(아이작 뉴턴(Isaac Newton)의 이름을 따서, 뉴턴의 평행사변형으로 역시 알려진) 뉴턴의 다이어그램(Newton's diagram)은 원점에 가깝고 원점에서 멀리 떨어진 대수적 곡선의 모양을 결정하는 기법입니다. 그것은 곡선의 방정식에서 각 항 \(Ax^{\alpha}y^{\beta}\)에 대해 (α, β)를 그린 것으로 구성됩니다. 결과 다이어그램은 그런-다음 곡선에 대한 정보를 생성하기 위해 분석됩니다.
구체적으로 특별히, 모든 각 다른 점이 그것 위 또는 그것에 대한 오른쪽과 위쪽에 있도록 다이어그램 위의 두 점을 연결하는 대각선을 그리십시오. 만약 곡선이 원점을 통과하면 적어도 하나의 그러한 직선이 있습니다. 직선의 방정식을 qα+pβ=r로 놓습니다. 곡선이 원점 근처에서 \(y=Cx^{p/q}\)로 근사된다고 가정합니다. 그런-다음, 항 \(Ax^{\alpha}y^{\beta}\)는 근사적으로 \(Dx^{\alpha+\beta p/q}\)입니다. 지수는 (α, β)가 직선 위에 있을 때 r/q이고, 그것이 위쪽과 오른쪽에 있을 때 더 높습니다. 그러므로, 이 가정 아래에서 원점 근처에 있는 중요한 항은 직선 위에 놓이는 오직 그들이고 다른 것들은 무시될 수 있을 것입니다; 그것은 곡선에 대해 간단한 근사 방정식을 생성합니다. 곡선의 하나 이상의 가지에 각각 해당하는 여러 그러한 대각선이 있을 수 있고, 가지의 근사 방정식은 이 방법을 차례로 각 직선 적용함으로써 구해질 수 있을 것입니다.
예를 들어, 데카르트의 폴리움(folium of Descartes)은 다음 방정식에 의해 정의됩니다:
\(\quad\)\(x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,\)
그런-다음 뉴턴의 다이어그램은 (3, 0), (1, 1), 및 (0, 3)에서 점을 가집니다. 두 대각선은 위에 묘사된, 2α+β=3 및 α+2β=3로 그려질 수 있을 것입니다. 이들은, 원점에서 교차하는, 곡선의 수평 및 수직 가지에 대해 근사 방정식으로 다음을 생성합니다:
\(\quad\)\(x^2 - 3 a y = 0 \,\)
\(\quad\)\(y^2 - 3 a x = 0 \,\)
The analytical triangle
드 가(De Gua)는 해석적 삼각형 (또는 드 가의 삼각형)으로 불리는 기법을 형성하기 위해 뉴턴의 다이어그램을 확장했습니다. 점 (α, β)는 뉴턴의 다이어그램 방법과 같이 그려지지만, α+β=n이 다이어그램을 포함하는 삼각형을 형성하기 위해 더해집니다 (여기서 n은 곡선의 차수입니다). 이 방법은 그려진 점을 포함하는 가장-작은 볼록 다각형을 경계 짓는 모든 직선을 고려합니다 (볼록 껍질(convex hull)을 참조하십시오).
External links
- Trenogin, V.A. (2001) [1994], "Newton diagram", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
