수학에서, 수렴 테스트(convergence tests)는 무한 급수(infinite series) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)의 수렴(convergence), 조건부 수렴(conditional convergence), 절대 수렴(absolute convergence), 수렴의 구간(interval of convergence) 또는 발산에 대해 테스팅하는 것의 방법입니다.
List of tests
Limit of the summand
만약 더해지는 숫자(summand)의 극한이 비-정의 또는 비-영, 즉 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0\)이면, 급수는 반드시 발산합니다. 이 의미에서, 부분 합이 코시(Cauchy)인 것은 이 극한이 존재하고 영과 같은 것의 충분 조건(only if)입니다. 테스트는, 만약 합해지는 숫자의 극한이 영이면, 결정적이지 않습니다.
Ratio test
이것은 달랑베르의 기준(D'Alembert's criterion)으로 역시 알려져 있습니다.
- 다음을 만족하는 \(r\)이 존재하는 것을 가정합니다:
- \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.\)
- 만약 r < 1이면, 급수는 절대적으로 수렴입니다. 만약 r > 1이면, 급수는 발산입니다. 만약 r = 1이면, 비율 테스트는 결정적이지 않고, 급수는 수렴일 수 있습니다.
Root test
이것은 n번째 근 테스트(nth root test) 또는 코시의 기준(Cauchy's criterion)으로 역시 알려져 있습니다.
- 다음을 놓습니다:
- \(\displaystyle r=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},\)
- 여기서 \(\limsup\)은 극한 상부(limit superior)을 의미합니다 (아마도 \(\infty\); 만약 극한이 존재하면 그것은 같은 값입니다).
- 만약 r < 1이면, 급수는 수렴입니다. 만약 r > 1이면, 급수는 발산입니다. 만약 r = 1이면, 근 테스트는 결정적이지 않고, 급수는 수렴 또는 발산일 수 있습니다.
근 테스트는 비율 테스트보다 더 강력합니다: 비율 테스트가 무한 급수의 수렴 또는 발산을 결정할 때마다, 근 테스트도 그렇지만, 반대는 그렇지 않습니다.
예를 들어, 다음 급수에 대해
\(\quad\)1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ... = 4
수렴은 근 테스트로부터 따르지만 비율 테스트로부터 그렇지 않습니다.
Integral test
급수는 수렴 또는 발산을 세우기 위해 적분과 비교될 수 있습니다. \(f:[1,\infty)\to\mathbb{R}_+\)를 \(f(n) = a_n\)를 만족하는 비-음의 및 단조적으로 감소하는 함수(monotonically decreasing function)로 놓습니다.
- 만약 다음이면:
- \(\displaystyle \int_1^\infty f(x) \, dx=\lim_{t\to\infty}\int_1^t f(x) \, dx<\infty\)이면,
- 급수는 수렴입니다. 그러나 만약 적분이 발산이면, 급수는 그래서 마찬가지 그렇습니다.
- 다른 말로, 급수 \({a_n}\)이 수렴하는 것과 적분이 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.
Direct comparison test
만약 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\)이 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수이고 충분하게 큰 n에 대해 \(\displaystyle |a_n|\le |b_n|\)이면, 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)은 절대적으로 수렴입니다.
Limit comparison test
만약 \(\{a_n\},\{b_n\}>0\)이고 (즉, 두 수열의 각 원소가 양수입니다), 극한 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}\)이 존재하며, 유한이고 비-영이면, \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)이 발산하는 것과 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\)이 발산하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.
Cauchy condensation test
\(\left \{ a_n \right \}\)을 양의 비-증가하는 수열로 놓습니다. 그런-다음 합 \(\displaystyle A = \sum_{n=1}^\infty a_n\)이 수렴하는 것과 합 \(\displaystyle A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}\)이 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.. 게다가, 만약 그들이 수렴하면, \(A \leq A^* \leq 2A\)가 유지됩니다.
Abel's test
다음 명제가 참이라고 가정합니다:
- \(\displaystyle \sum a_n \)은 수렴 급수입니다,
- \(\left\{b_n\right\}\)은 단조적 수열이고,
- \(\left\{b_n\right\}\)은 경계집니다.
그런-다음 \(\displaystyle \sum a_nb_n \)은 역시 수렴합니다.
Absolute convergence test
모든 각 절대적으로 수렴(absolutely convergent) 급수는 수렴합니다.
Alternating series test
이것은 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)으로 역시 알려져 있습니다.
다음 명제가 참이라고 가정합니다:
- \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \),
- 모든 각 n에 대해, \( a_{n+1} \le a_n \)입니다.
그런-다음 \(\displaystyle \sum_{n = k}^\infty (-1)^{n} a_n \)와 \(\displaystyle \sum_{n = k}^\infty (-1)^{n+1} a_n \)은 수렴 급수입니다.
Dirichlet's test
만약 \(\{a_n\}\)이 실수(real number)의 수열(sequence)이고 \(\{b_n\}\)이 다음을 만족시키는 복소수(complex number)의 수열이면:
- \(a_n \geq a_{n+1}\)
- \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0\)
- 모든 각 양의 정수 N에 대해, \(\displaystyle \left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M\)
여기서 M은 어떤 상수입니다. 그런-다음 급수
\(\quad \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n\)
는 수렴합니다.
Raabe–Duhamel's test
\(a_n>0\)으로 놓습니다.
다음을 정의합니다:
\(\quad \displaystyle b_n=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right).\)
만약
\(\quad \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}b_n\)
이 존재하면 다음 세 가지 가능성이 있습니다:
- 만약 L > 1이면 급수는 수렴합니다.
- 만약 L < 1이면 급수는 발산합니다.
- 그리고 만약 L = 1이면 테스트는 결정적이지 않습니다.
이 테스트의 대안적인 공식화는 다음과 같습니다. \(\{a_n\}\)를 실수의 급수로 놓습니다. 그런-다음 만약 모든 n > K에 대해
\(\quad \displaystyle \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le 1-\frac{b}{n} \)
를 만족하는 b > 1이고 (자연수) K가 존재하면, 급수 \(\{a_n\}\)은 수렴합니다.
Bertrand's test
\(\{a_n\}\)을 양수의 수열로 놓습니다.
다음을 정의합니다:
\(\quad \displaystyle b_n=\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right)-1\right).\)
만약
\(\quad \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}b_n\)
이 존재하면 세 가지 가능성이 있습니다:
- 만약 L > 1이면 급수는 수렴합니다.
- 만약 L < 1이면 급수는 발산합니다.
- 그리고 만약 L = 1이면 테스트는 결정적이지 않습니다.
Gauss's test
\(\{a_n\}\)을 양수의 수열로 놓습니다. 만약 어떤 β > 1에 대해 \(\displaystyle \frac{a_n}{a_{n + 1}} = 1+ \frac{\alpha}{n} + O(1/n^\beta)\)이면, \(\displaystyle \sum a_n\)는 만약 α > 1이면 수렴이고, 만약 α ≤ 1이면 발산입니다.
Notes
- 급수의 일부 특별한 유형에 대해, 보다 전문화된 수렴 테스트가 있습니다. 예를 들어, 푸리에 급수(Fourier series)에 대해 디니 테스트(Dini test)가 있습니다.
Examples
다음 급수를 생각해 보십시오:
\(\quad \displaystyle (*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.\)
코시 응집 테스트(Cauchy condensation test)는, 만약
\(\quad \displaystyle (**) \;\;\; \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha \)
이 유한하게 수렴하면, (*)가 유한하게 수렴하는 것을 의미합니다. 왜냐하면
\(\quad \displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n} \)
(**)은 비율 \( 2^{(1-\alpha)} \)을 갖는 기하 급수이기 때문입니다. (**)는 만약 그의 비율이 일보다 작으면 (즉, \(\alpha > 1\)), 유한하게 수렴합니다. 따라서, (*)은 유한하게 수렴하는 것과 \( \alpha > 1 \)인 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다.
Convergence of products
대부분의 테스트는 무한 급수의 수렴을 다루지만, 그들은 무한 곱(infinite product)의 수렴 또는 발산을 보이기 위해 역시 사용될 수 있습니다. 이것은 다음 정리를 사용하여 이루어질 수 있습니다: \(\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty\)를 양수의 수열로 놓습니다. 그런-다음 무한 곱 \(\displaystyle \prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)\)이 수렴하는 것과 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)가 수렴하는 것은 필요충분 조건(if and only if)입니다. 역시 비슷하게, 만약 \(0 < a_n < 1\)이 유지되면, \(\displaystyle \prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)\)이 비-영 극한에 접근하는 것과 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\)가 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.
이것은 곱의 로그를 취하고 극한 비교 테스트를 사용함으로써 입증될 수 있습니다.
See also
Further reading
- Leithold, Louis (1972). The Calculus, with Analytic Geometry (2nd ed.). New York: Harper & Row. pp. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.
External links
