집합 이론(set theory)에서, 연속 함수(continuous function)는 극한 단계에서 가정된 값이 이전 단계에서 모든 값의 극한 (극한 상부 및 극한 하부(limit suprema and limit infima))임을 만족하는 순서-숫자(ordinal)의 수열입니다. 보다 공식적으로, γ를 순서-숫자로, \(s := \langle s_{\alpha}| \alpha < \gamma\rangle\)를 순서-숫자의 γ-수열로 놓습니다. 그런-다음 s는 만약 모든 각 극한 순서-숫자 β < γ에서, 연속입니다:
\(\quad s_{\beta} = \limsup\{s_{\alpha}: \alpha < \beta\} = \inf \{ \sup\{s_{\alpha}: \delta \leq \alpha < \beta\} : \delta < \beta\} \)
및
\(\quad s_{\beta} = \liminf\{s_{\alpha}: \alpha < \beta\} = \sup \{ \inf\{s_{\alpha}: \delta \leq \alpha < \beta\} : \delta < \beta\} \,.\)
대안적으로, 만약 s가 증가하는 함수이면 s가 집합이 순서 토폴로지(order topology)를 각각 장착될 때 s: γ → range(s)가 연속 함수(continuous function)이면 연속입니다. 이들 연속 함수는 공끝도(cofinalities) 및 세는-숫자(cardinal numbers)에서 종종 사용됩니다.
정규 함수(normal function)는 연속과 증가하는(increasing) 둘 다인 함수입니다.
References
- Thomas Jech. Set Theory, 3rd millennium ed., 2002, Springer Monographs in Mathematics,Springer, ISBN 3-540-44085-2