수학(mathematics)에서, 상수 함수(constant function)는 그것의 (출력) 값이 모든 각 입력 값에 대해 같은 함수(function)입니다. 예를 들어, 함수 y(x) = 4는 상수 함수인데 왜냐하면 y(x)의 값이 입력 값 x에 관계없이 4이기 때문입니다 (이미지를 참조하십시오).
Basic properties
실수-값 인수의 실수-값 함수로서, 상수 함수는 일반적인 형식 y(x) = c 또는 단지 y = c를 가집니다.
예제: 함수 y(x) = 2 또는 단지 y = 2는 출력 값이 c = 2인 특정 상수 함수입니다. 이 함수의 도메인(domain of this function)은 모든 실수 ℝ의 집합입니다. 이 함수의 코도메인(codomain)은 단지 {2}입니다. 독립 변수 x는 함수 표현의 오른쪽에 나타나지 않고 따라서 그것의 값은 "빈 것으로 대체"됩니다. 즉, y(0) = 2, y(−2.7) = 2, y(π) = 2, 이런 식으로 계속됩니다. x의 어떤 값이 입력되더라도, 출력은 "2"입니다.
실-생활 예제: 모든 각 품목이 1 달러에 판매되는 상점.
상수 함수 y = c의 그래프는 점 (0, c)를 통과하는 평면(plane)에서 수평 직선입니다.
하나의 변수 x에서 다항식(polynomial)의 문맥에서, 비-영 상수 함수는 차수가 0의 다항식이고 일반적인 형식은 f(x) = c이며 여기서 c는 비-영입니다. 이 함수는 x-축과의 교차를 가지지 않으며, 즉, 그것은 근 (영)을 가지지 않습니다. 다른 한편으로, 다항식 f(x) = 0은 동일하게 영 함수입니다. 그것은 (자명한) 상수 함수이고 모든 각 x는 근입니다. 그것의 그래프는 평면에서 x-축입니다.
상수 함수는 짝수 함수(even function)이며, 즉, 상수 함수의 그래프는 y-축에 관해 대칭입니다.
그것이 정의된 문맥에서, 함수의 도함수(derivative)는 입력 값에서 변화에 관해 함숫값의 변화율을 측정한 것입니다. 상수 함수는 변하지 않기 때문에, 그것의 도함수는 0입니다. 이것은 종종 \((x\mapsto c)'=0\)으로 쓰입니다. 그 전환은 역시 참입니다. 즉, 만약 모든 실수 x에 대해 y'(x)=0이면, y가 상수 함수입니다.
예제: 상수 함수 \(y(x)=-\sqrt{2}\)가 주어지면, y의 도함수는 동일하게 영 함수 \(y'(x)=(x\mapsto-\sqrt{2})'=0\)입니다.
Other properties
준순서화된 집합(preordered sets) 사이의 함수에 대해, 상수 함수는 순서-보존(order-preserving) 및 순서-역전(order-reversing) 둘 다입니다; 반대로, 만약 f가 순서-보존 및 순서-역전 둘 다이고, 만약 f의 도메인(domain)이 격자(lattice)이면, f는 상수여야 합니다.
- 그것의 도메인(domain)과 코도메인(codomain)이 같은 집합 X인 모든 각 상수 함수는 X 위의 완전 변환 모노이드(full transformation monoid)의 왼쪽 영(left zero)이며, 이것은 그것이 역시 거듭상등(idempotent)임을 의미합니다.
- 토폴로지적 공간(topological space) 사이의 모든 각 상수 함수는 연속(continuous)입니다.
- 상수 함수는 한-점 집합(one-point set), 집합의 카테고리(category of sets)에서 끝 대상(terminal object)을 통해 인수화됩니다. 이 관찰은 프랜시스 윌리엄 로비어(F. William Lawvere)의 집합 이론의 공리화, 집합의 카테고리의 초등 이론 (ETCS)에 대해 수단이 됩니다.
- 모든 각 집합 X는 그것 안에 있는 상수 함수의 집합과 동형(isomorphic)입니다. 각 원소 x와 임의의 집합 Y에 대해, 모든 \(y \in Y\)에 대해 \(\tilde{x}(y) = x\)를 만족하는 고유한 함수 \(\tilde{x}: Y \rightarrow X\)입니다. 반대로, 만약 함수 \(f: Y \rightarrow X\)가 모든 \(y, y' \in Y\)에 대해 \(f(y) = f(y')\)를 만족시키면, \(f\)는 정의에 의해 상수 함수입니다.
- 따름정리로, 한-점 집합은 집합의 카테고리에서 생성기(generator)입니다.
- 모든 각 집합 \(X\)는 집합의 카테고리에서 함수 집합 \(X^1\), 또는 사상 집합(hom set) \(\operatorname{hom}(1,X)\)과 정식적으로 동형이며, 여기서 1은 한-점 집합입니다. 이것, 및 집합의 카테고리에서 데카르트 곱과 사상 사이의 수반 (따라서 두 변수의 함수와 또 다른 (단일) 변수의 함수에서 한 변수 값의 함수 사이의 정식의 동형, \(\operatorname{hom}(X \times Y,Z) \cong \operatorname{hom}(X(\operatorname{hom}(Y,Z))\)이 있음)때문에, 집합의 카테고리는 텐서 곱으로 집합의 데카르트 곱(cartesian product)과 텐서 단위로 한-점 집합을 갖는 닫힌 모노이드 카테고리(closed monoidal category)입니다. X에서 자연스러운(natural in X) 동형 \(\lambda :1\times X \cong X\cong X\times1:\rho\)에서, 왼쪽과 오른쪽 단위자가 원소 \(x\)에 각각 투영 \(p_1\)과 \(p_2\) 순서화된 쌍(ordered pair) \((*,x)\)과 \((x,*)\)이며, 여기서 \(*\)는 한-점 집합에서 고유한 점(point)입니다.
연결된 집합(connected set) 위에 함수가 지역적으로 상수(locally constant)인 것과 그것이 상수인 것은 필요충분 조건입니다.
References
- Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).
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