(번역) Conjugate transpose

Original article: w:Conjugate transpose

 
수학(mathematics)에서, 복소(complex) 엔트리를 갖는 m-×-n 행렬(matrix) $\mathbf{A}$의 켤레 전치(conjugate transpose) 또는 에르미트 전치(Hermitian transpose)는 전치(transpose)를 취하고 그런-다음 각 엔트리의 복소 켤레(complex conjugate)를 취함으로써 $\mathbf{A}$로부터 얻어진 n-×-m 행렬 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$입니다. ($a+ib$의 복소 켤레는, 여기서 $a$와 $b$는 실수이며, $a-ib$입니다.) 그것은 종종 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$ 또는 ${\mathit{A}}^{\ast }$으로 표시됩니다.
실수(real) 행렬에 대해, 켤레 전치는 단지 전치, ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}={\mathit{A}}^{\mathsf{T}}$입니다.

Definition

$m\times n$ 행렬 $\mathit{A}$의 켤레 전치는 다음에 의해 형식적으로 정의됩니다:
${\displaystyle {\left({\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\right)}_{ij}=\overline{{\mathit{A}}_{ji}}\cdots }$ (Eq.1)
여기서 아래첨자는 $1\le i\le n$와 $1\le j\le m$에 대해 $(i,j)$-번째 엔트리를 나타내고, 위쪽막대는 스칼라 복소 켤레를 나타냅니다.
이 정의는 역시 다음으로 쓰일 수 있습니다:
${\displaystyle {\mathit{A}}^{\mathrm{H}}={\left(\bar{\mathit{A}}\right)}^{\mathsf{T}}=\overline{{\mathit{A}}^{\mathsf{T}}}}$
여기서 ${\mathit{A}}^{\mathsf{T}}$는 전치를 나타내고 $\bar{\mathit{A}}$는 복소 켤레된 엔트리를 갖는 행렬을 나타냅니다.
행렬의 켤레 전치에 대해 다른 이름은 Hermitian conjugate, bedaggered matrix, adjoint matrix 또는 transjugate가 있습니다. 행렬 $\mathit{A}$의 켤레 전치는 이들 기호의 임의의 것에 의해 표시될 수 있습니다:

• ${\mathit{A}}^{\ast }$, 선형 대수(linear algebra)에서 공통적으로 사용됨.
• ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$, 선형 대수에서 공통적으로 사용됨.
• ${\mathit{A}}^{†}$ (때때로 A dagger로 발음됨), 양자 역학(quantum mechanics)에서 공통적으로 사용됨.
• ${\mathit{A}}^{+}$이지만, 이 기호는 무어-펜로즈 유사역행렬(Moore-Penrose pseudoinverse)에 대해 보다 공통적으로 사용됨.

일부 문맥에서, ${\mathit{A}}^{\ast }$는 오직 복소 켤레된 엔트리를 갖고 전치를 하지 않는 행렬을 나타냅니다.

Example

우리가 다음 행렬 $\mathit{A}$의 켤레 전치를 계산하기를 원한다고 가정합니다.
${\displaystyle \mathit{A}=\left[\begin{array}{ccc}1& -2-i& 5\\ 1+i& i& 4-2i\end{array}\right]}$
우리는 먼저 행렬을 전치합니다:
${\displaystyle {\mathit{A}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1+i\\ -2-i& i\\ 5& 4-2i\end{array}\right]}$
그런-다음 우리는 행렬의 모든 각 엔트리를 켤레화합니다:
${\displaystyle {\mathit{A}}^{\mathrm{H}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1-i\\ -2+i& -i\\ 5& 4+2i\end{array}\right]}$

Basic remarks

엔트리 $a_{ij}$를 갖는 정사각 행렬 $\mathit{A}$은 다음이라고 불립니다:

• 에르미트(Hermitian) 또는 자기-인접(self-adjoint) : 만약 $\mathit{A}={\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$이면; 즉, $a_{ij}=\overline{a_{ji}}$.
• 꼬인 에르미트(Skew Hermitian) 또는 반에르미트 : 만약 $\mathit{A}=-{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$이면; 즉, $a_{ij}=-\overline{a_{ji}}$.
• 정규(Normal) :  만약 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\mathit{A}=\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$이면.
• 유니태리(Unitary) : 만약 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}={\mathit{A}}^{-1}$이면, 동등하게 $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}=\mathit{I}$, 동등하게 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\mathit{A}=\mathit{I}$.

심지어 $\mathit{A}$가 정사각이 아닐지라도, 두 행렬 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\mathit{A}$과 $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$은 둘 다 에르미트이고 사실 양의 반-한정 행렬(positive semi-definite matrices)입니다.
켤레 전치 "인접" 행렬 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$은 수반(adjugate), $\mathrm{adj}(\mathit{A})$과 혼동되어서는 안되며, 수반은 역시 때때로 인접이라고 불립니다.
실수(real) 엔트리를 갖는 행렬 $\mathit{A}$의 켤레 전치는 $\mathit{A}$의 전치(transpose)로 줄어드는데, 왜냐하면 실수의 켤레는 숫자 자신이기 때문입니다.

Motivation

켤레 전치는 복소수가 행렬 덧셈과 곱셈을 따르는 2×2 실수 행렬로 유용하게 표현될 수 있다는 것을 주목함으로써 동기-부여될 수 있습니다:
${\displaystyle a+ib\equiv \left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right].}$
즉, $\mathbb{C}$ 위에 복소 z-곱셈에 영향을 받은, (''실수'' 벡터 공간 ${\mathbb{R}}^2$에 보인) 아르강 다이어그램(Argand diagram) 위에 선형 변환의 실수 2×2 행렬에 의해 각 복소수 z를 나타내는 것입니다.
따라서, 복소수의 m-×-n 행렬은 실수의 2m-×-2n 행렬에 의해 잘 표현될 수 있습니다. 켤레 전치는 따라서 복소수로 구성된 n-x-m 행렬로 다시 보일 때 그러한 행렬을 단순히 전치한 결과로 매우 자연스럽게 발생합니다.

Properties of the conjugate transpose

• 같은 차원의 임의의 두 행렬 $\mathit{A}$와 $\mathit{B}$에 대해, $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{\mathrm{H}}={\mathit{A}}^{\mathrm{H}}+{\mathit{B}}^{\mathrm{H}}$.
• 임의의 복소수 $z$와 임의의 m-×-n 행렬 $\mathit{A}$에 대해, $(z\mathit{A}{)}^{\mathrm{H}}=\bar{z}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$.
• 임의의 m-×-n 행렬 $\mathit{A}$와 임의의 n-×-p 행렬 $\mathit{B}$에 대해, $(\mathit{A}\mathit{B}{)}^{\mathrm{H}}={\mathit{B}}^{\mathrm{H}}{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$. 인수의 순서가 역전됨에 주목하십시오.
• 임의의 m-×-n 행렬 $\mathit{A}$에 대해, ${\left({\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\right)}^{\mathrm{H}}=\mathit{A}$, 즉, 에르미트 전치는 인볼루션(involution)입니다.
• 만약 $\mathit{A}$가 정사각 행렬이면, $det\left({\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{det\left(\mathit{A}\right)}$이며 여기서 $\det (A)$는 $\mathit{A}$의 행렬식(determinant)을 나타냅니다.
• 만약 $\mathit{A}$가 정사각 행렬이면, $\mathrm{tr}\left({\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\right)=\overline{\mathrm{tr}(\mathit{A})}$이며 여기서 $\mathrm{tr}(A)$는 $\mathit{A}$의 대각합(trace)을 나타냅니다.
• $\mathit{A}$가 역가능(invertible)인 것과 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$인 것은 필요충분(iff) 조건이고, 해당 의미에서 ${\left({\mathit{A}}^{\mathrm{H}}\right)}^{-1}={\left({\mathit{A}}^{-1}\right)}^{\mathrm{H}}$.
• ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$의 고윳값(eigenvalue)은 $\mathit{A}$의 고윳값(eigenvalue)의 켤레 전치입니다. 
• 임의의 m-×-n 행렬 $\mathit{A}$, $x\in {\mathbb{C}}^n$에서 임의의 벡터와 $y\in {\mathbb{C}}^m$에서 임의의 벡터에 대해, ${⟨\mathit{A}x,y⟩}_m={⟨x,{\mathit{A}}^{\mathrm{H}}y⟩}_n$. 여기서 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_m$는 ${\mathbb{C}}^m$ 위에 표준 복소 안의 곱(inner product)을 나타내고, 유사하게 $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_n$에 대해.

Generalizations

위에 주어진 마지막 속성은 만약 우리가 $\mathit{A}$를 힐베르트 공간(Hilbert space) ${\mathbb{C}}^n$에서 ${\mathbb{C}}^m$로의 선형 변환(linear transformation)으로 보면, 행렬 ${\mathit{A}}^{\mathrm{H}}$는 $\mathit{A}$의 인접 연산자(adjoint operator)에 해당함을 보여줍니다. 힐베르트 공간 사이의 인접 연산자의 개념은 따라서 직교정규 기저에 관한 행렬의 켤레 전치의 일반화로 보일 수 있습니다.
또 다른 일반화가 유효합니다: $A$가 복소 벡터 공간(vector space) $V$에서 또 다른 것, $W$로의 선형 맵이라고 가정하면, 복소 켤레 선형 맵(complex conjugate linear map)과 마찬가지로 전치된 선형 맵(transposed linear map)이 정의되고, 우리는 따라서 $A$의 켤레 전치를 $A$의 전치의 복소 켤레로 취할 수 있습니다. 그것은 $W$의 켤레 이중(dual)을 $V$의 켤레 이중으로 매핑합니다.

See also

• Complex dot product
• Hermitian adjoint
• Adjugate matrix

External links

 

• "Adjoint matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]