(번역) Conditional convergence

Original article: w:Conditional convergence

 
수학(mathematics)에서, 급수(series) 또는 적분(integral)이 만약 그것이 수렴하지만, 절대적으로 수렴(converge absolutely)하지는 않으면 조건적으로 수렴(conditionally convergent)이라고 말합니다.

Definition

보다 정확하게, 실수의 급수 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 만약 $\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=0}^m{a}_n$가 존재하지만 (유한 실수로 ,즉, $\mathrm{\infty }$ 또는 $-\mathrm{\infty }$가 아님), $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_n\right|=\mathrm{\infty }$이면 조건적으로 수렴이라고 말합니다.

고전적인 예제는 다음에 의해 제공되는 교대하는(alternating) 조화 급수입니다:
${\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n},}$ 

이것은 $\ln (2)$로 수렴이지만, 절대적으로 수렴이지는 않습니다 (조화 급수(Harmonic series)를 참조하십시오).

베른하르트 리만(Bernhard Riemann)은 조건적으로 수렴 급수가 ∞ 또는 −∞를 포함한 임의의 값으로 수렴하기 위해 (rearranged)될 수 있음을 입증했습니다; 리만 급수 정리(Riemann series theorem)를 참조하십시오. 리비–슈타이니츠 정리(Lévy–Steinitz theorem)는 ${\mathbf{R}}^n$에서 항의 급수가 수렴할 수 있는 값의 집합을 식별합니다.
전형적 조건적으로 수렴 적분은 $\sin (x^2)$의 비-음의 실수 축에 대한 적분입니다 (프레넬 적분(Fresnel integral)을 참조하십시오).

See also

• Absolute convergence
• Unconditional convergence

References

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).