토폴로지(topology)에서, 토폴로지적 공간(topological space)의 닫힌-열린 집합(clopen set, closed-open set의 합성어)은 열린 것과 닫힌 것 둘 다인 집합입니다. 이것이 가능하다는 것은 직관에 반하는 것처럼 보일 수 있는데, 왜냐하면 열린 것과 닫힌 것의 공통적인 의미는 반의어이기 때문이지만, 그것들의 수학적 정의는 서로 배타적(mutually exclusive)이지 않습니다. 집합은 만약 그것의 여집합(complement)이 열린 것이면 닫힌 것이며, 이는 그것의 여집합이 역시 열린 것인 열린 집합의 가능성을 남기며, 두 집합이 모두 열린 것 그리고 닫힌 것 둘 다로 만들고, 따라서 닫힌-열린 것입니다. 토폴로지 학자 제임스 멍크레스(James Munkres)가 설명했듯이, 문과 달리, "집합은 열린 것, 또는 닫힌 것, 또는 둘 다, 또는 둘 다 아닐 수 있습니다!"는 문에 대한 "열림"/"닫힘"의 의미는 집합에 대한 그것들의 의미와 관련이 없음을 강조합니다 (그리고 따라서 열린/닫힌 문 이분법은 열린/닫힌 집합으로 전환되지 않습니다). 문(door)에 대한 이러한 대조는 "문 공간(door spaces)"으로 알려진 토폴로지적 공간의 클래스에 그것들의 이름을 부여했습니다.
Examples
임의의 토폴로지적 공간 \(X\)에서, 빈 집합(empty set)과 전체 공간 \(X\)는 모두 닫힌-열린 것입니다.
이제 \(\mathbb{R}\)의 두 열린 구간 \((0, 1)\)과 \((2, 3)\)의 합집합으로 구성된 공간 \(X\)를 생각해 보십시오. \(X\)의 토폴로지는 실수 직선(real line) \(\mathbb{R}\) 위의 보통의 토폴로지로부터 부분공간 토폴로지(subspace topology)로 상속됩니다. \(X\)에서, 집합 \((0, 1)\)은 집합 \((0, 1)\)과 마찬가지로 닫힌-열린 것입니다. 이것은 매우 전형적인 예제입니다: 공간이 이러한 방법에서 유한한 숫자의 서로소 연결된 구성 요소(connected components)로 구성될 때마다, 그 구성 요소는 닫힌-열린 것일 것입니다.
이제 \(X\)를 이산 메트릭 아래에서 무한 집합이라고 놓습니다 {{snd}} 즉, 두 점 \(p, q \in X\)는 만약 그것들이 같은 점이 아니면 거리 1을 가지고, 그렇지 않으면 0을 가집니다. 결과 메트릭 공간 아래에서, 임의의 한원소 집합은 열린 것입니다; 따라서, 임의의 집합, 단일 점의 합집합인 것은 열린 것입니다. 임의의 집합이 열린 것이기 때문에, 임의의 집합의 여집합도 열린 것이고, 따라서 임의의 집합은 닫힌 것입니다. 따라서, 이 메트릭 공간에서 모든 집합은 닫힌-열린 것입니다.
덜 자명한 예로서, 보통의 토폴로지를 갖는 모든 유리수(rational numbers)의 공간 \(\mathbb{Q}\)와 제곱이 2보다 큰 모든 양의 유리수의 집합 \(A\)를 생각해 보십시오. \(\sqrt 2\)가 \(\mathbb{Q}\)에 없다는 사실을 사용하여, 우리는 매우 쉽게 \(A\)는 \(\mathbb{Q}\)의 닫힌-열린 부분집합임을 보일 수 있습니다. (\(A\)는 실수 직선 \(\mathbb{R}\)의 닫힌-열린 부분집합이 아닙니다; 그것은 \(\mathbb{R}\)에서 열린 것도 아니고 닫힌 것도 아닙니다.)
Properties
- 토폴로지적 공간 \(X\)가 연결된(connected) 것과 유일한 닫힌-열린 집합이 빈 집합(empty set)과 \(X\) 자체라는 것은 필요충분 조건입니다.
- 집합이 닫힌-열린 것과 그것의 경계(boundary)가 빈 것은 필요충분 조건입니다.
- 임의의 닫힌-열린 집합은 (아마도 무한하게 많은) 연결된 구성-요소(connected components)의 합집합입니다.
- 만약 \(X\)의 모든 연결된 구성-요소(connected components)가 열린 (예를 들어, 만약 \(X\)가 유한하게 많은 구성-요소만 가지면, 또는 \(X\)가 지역적으로 연결된(locally connected)) 것이면, 집합이 \(X\)에서 닫힌-열린 것과 그것이 연결된 구성-요소의 합집합인 것은 필요충분 조건입니다.
- 토폴로지적 공간 \(X\)가 이산(discrete)인 것과 모든 그것의 부분집합이 닫힌-열린 것은 필요충분 조건입니다.
- 합집합(union)과 교집합(intersection)을 연산으로 사용하여, 주어진 토폴로지적 공간 \(X\)의 닫힌-열린 부분집합은 부울 대수(Boolean algebra)를 형성합니다. 모든 각 부울 대수는 적합한 토폴로지적 공간에서 이러한 방법에서 얻을 수 있습니다; Stone's representation theorem for Boolean algebras를 참조하십시오.
References
- Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
- Morris, Sidney A. "Topology Without Tears". Archived from the original on 19 April 2013.