기하학(geometry)에서, 원주(circumference) (라틴어 circumferentia로부터, "지닌 것의 주위로(carrying around)"를 의미함)는 원(circle) 또는 타원(ellipse)의 둘레(perimeter)입니다. 즉, 만약 원이 열리고 선분(line segment)으로 곧게 펴진다면, 원주는 원의 호 길이(arc length)일 것입니다. 보다 일반적으로, 둘레는 임의의 닫힌 그림 주위의 곡선 길이(curve length)입니다. 원주는 역시 원 자체, 즉 디스크(disk)의 가장자리(edge)에 해당하는 자취(locus)를 참조할 수 있습니다.
Circle
원의 원주는 그것 주위에 거리이지만, 만약, 많은 초등 처리에서와 같이, 거리가 직선의 관점에서 정의되면, 이것은 정의로 사용될 수 없습니다. 이들 상황 아래에서, 원의 원주는 변의 개수가 경계없이 증가함에 따라 내접된 정규 다각형(regular polygon)의 둘레의 극한(limit)으로 정의될 수 있습니다. 용어 원주는 물리적 대상을 측정할 때, 마찬가지로 추상적인 기하학적 형식을 고려할 때도 사용됩니다.
Relationship with π
원(circle)의 원주는 가장 중요한 수학적 상수(mathematical constant) 중 하나와 관련이 있습니다. 이 상수(constant), 파이(pi)는 그리스 문자 π로 나타냅니다. π의 수치적 값의 처음 몇 십진 자릿수는 3.141592653589793 ...입니다. 파이는 원의 원주 C와 그것의 지름(diameter) d의 비율(ratio)로 정의됩니다:
\(\quad\displaystyle \pi = \frac{C}{d}.\)
또는, 동등하게, 원주와 반지름(radius)의 두 배의 비율로 정의됩니다. 위의 공식은 원주에 대해 풀리기 위해 다시 정렬될 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle {C}=\pi\cdot{d}=2\pi\cdot{r}.\!\)
수학적 상수 π의 사용은 수학, 공학, 및 과학에서 어디에나 나타납니다.
기원전 약 250년에 쓰인 Measurement of a Circle에서, 아르키메데스(Archimedes)는 이 비율이 96 변의 내접된 및 외접된 정규 다각형의 둘레를 계산함으로써 \(3\tfrac{10}{71}\)보다 크지만 \(3\tfrac17\)보다 작음을 보였습니다 (C/d, 그는 이름 π를 사용하지 않았습니다). π를 근사화하는 이 방법은 수세기 동안 사용되었으며, 더 많은 변의 개수를 가진 다각형을 사용함으로써 더 정확도를 얻습니다. 마지막 그러한 계산은 1630년에 \(10^{40}\) 변을 가진 다각형을 사용했던 크리스토프 그리엔버거(Christoph Grienberger)에 의해 수행되었습니다.
Ellipse
원주는 일부 저자에 의해 타원의 둘레를 표시하기 위해 사용됩니다. 오직 초등 함수를 사용하는 타원의 반-주요 축과 반-보조 축(semi-major and semi-minor axes)의 관점에서 타원의 둘레에 대한 일반적인 공식이 없습니다. 어쨌든, 이들 매개변수의 관점에서 근사 공식이 있습니다. 정식의(canonical) 타원에 대해 하나의 그러한 근사는, 오일러 (1773)로 인해,
\(\quad\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\)
다음입니다:
\(\quad\displaystyle C_{\rm{ellipse}} \sim \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}.\)
\(a\geq b\)를 갖는 정식의 타원의 둘레에 대한 일부 아래쪽과 위쪽 경계는 다음입니다:
\(\quad\displaystyle 2\pi b\le C\le 2\pi a,\)
\(\quad\displaystyle \pi (a+b)\le C\le 4(a+b),\)
\(\quad\displaystyle 4\sqrt{a^2+b^2}\le C\le \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} .\)
여기서 위쪽 경계 \(2\pi a\)는 타원의 주요 축의 끝점을 통과하는 외접된(circumscribed) 동심원(concentric circle)의 원주이고, 아래쪽 경계 \(4\sqrt{a^2+b^2}\)는 주요 및 보조 축의 끝점에 꼭짓점을 갖는 내접된(inscribed) 마름모(rhombus)의 둘레(perimeter)입니다.
타원의 둘레는 두 번째 종류의 완전한 타원 적분(complete elliptic integral of the second kind)의 관점에서 정확하게 표현될 수 있습니다. 보다 정확하게, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle C_{\rm{ellipse}} = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta,\)
여기서 \(a\)는 반-주요 축의 길이이고 \(e\)는 이심률 \(\sqrt{1 - b^2/a^2}\)입니다.