수학(mathematics)에서, 혹 함수(bump function, 역시 테스트 함수라고 불림)는 (모든 차수의 연속 도함수를 가진다는 의미에서) 매끄럽고 컴팩트하게 지원된 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^n\) 위의 함수 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)입니다. 도메인(domain) \(\mathbb{R}^n\)을 갖는 모든 혹 함수의 집합(set)은 벡터 공간(vector space)을 형성하며, \(\mathrm{C}^\infty_0(\mathbb{R}^n)\) 또는 \(\mathrm{C}^\infty_\mathrm{c}(\mathbb{R}^n)\)으로 표시됩니다. 적절한 토폴로지(topology)가 부여된 이 공간의 이중 공간(dual space)은 분포(distributions)의 공간입니다.
Examples
다음에 의해 주어진 함수 \(\Psi:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\)는
\(\quad\displaystyle \Psi(x) =
\begin{cases}
\exp\left( -\frac{1}{1 - x^2}\right), & x \in (-1,1) \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}\)
일 차원에서 혹 함수의 예시입니다. 실수 직선의 함수가 컴팩트 지원을 가지는 것과 그것이 경계진 닫힌 지원을 가지는 것은 필요충분 조건이기 때문에, 이 함수가 컴팩트 지원을 가진다는 구성에서 분명합니다. 매끄러움의 증명은 비-해석적 매끄러운 함수(Non-analytic smooth function) 기사에서 논의된 관련 함수와 같은 선을 따릅니다. 이 함수는 단위 디스크에 맞게 스케일된 가우스 함수(Gaussian function) \(\exp\left(-y^2\right)\)로 해석될 수 있습니다: 치환 \(y^2 = {1} / {\left(1-x^2\right)}\)는 \(x = \pm 1\)을 \(y = \infty\)로 보내는 것에 해당합니다.
\(n\) 변수에서 (제곱) 혹 함수의 간단한 예제는 하나의 변수에서 위의 혹 함수의 \(n\) 복사본을 취함으로써 얻어지므로,
\(\quad\displaystyle \Phi(x_1, x_2, \dots, x_n) = \Psi(x_1) \Psi(x_2) \cdots \Psi(x_n).\)
Existence of bump functions
혹 함수를 "사양에 맞게" 구성할 수 있습니다. 형식적으로 말하면, 만약 \(K\)가 \(n\) 차원에서 임의적인 컴팩트 집합이고 \(U\)가 \(K,\)를 포함하는 열린 집합이면, \(K\) 위에 \(1\)과 \(U\)의 밖에서 \(0\)인 혹 함수 \(\phi\)가 존재합니다. \(U\)는 \(K\)의 매우 작은 이웃으로 취해질 수 있기 때문에, 이것은 \(K\) 위에 \(1\)이고 \(K\) 밖에서 \(0\)으로 빠르게 떨어지면서 여전히 매끄럽게 되는 함수를 구성할 수 있는 것과 같습니다.
구성은 아래와 같이 진행됩니다. \(U\)에 포함된 \(K\)의 컴팩트 이웃 \(V\)를 고려하므로, \(K \subseteq V^\circ\subseteq V \subseteq U\)입니다. \(V\)의 특성 함수(characteristic function) \(\chi_V\)는 \(V\) 위에 1, \(V\) 밖에서 \(0\)과 같을 것이므로, 특히, \(K\) 위에 1이고 \(U\) 밖에서 \(0\)일 것입니다. 어쨌든, 이 함수는 매끄럽지 않습니다. 핵심 아이디어는 완화자(mollifier)를 갖는 \(\chi_V\)의 합성곱(convolution)을 취함으로써 \(\chi_V\)를 약간 매끄럽게 하는 것입니다. 후자는 매우 작은 지원을 갖는 혹 함수일 뿐이고 그 적분은 \(1\)입니다. 예를 들어, 이전 섹션에서 혹 함수 \(\Phi\)를 취하고 적절한 스케일링을 수행함으로써 그러한 완화자를 얻을 수 있습니다.
합성곱을 포함하지 않는 대안적인 구성이 이제 자세히 설명됩니다. 음의 실수에서 사라지고 양의 실수에서 양수인 임의의 매끄러운 함수 \(c : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\)로 시작합니다 (즉, \((-\infty, 0)\)에서 \(c = 0\)과 \((0, \infty)\)에서 \(c > 0\), 여기서 왼쪽에서 연속성은 \(c(0) = 0\)을 필요로 합니다); 그러한 함수의 예제는 \(x > 0\)에 대해 \(c(x) := e^{-1/x}\)이고 그렇지 않으면 \(c(x) := 0\)입니다. \(\mathbb{R}^n\)의 열린 부분집합 \(U\)를 고정하고 보통의 유클리드 노름(Euclidean norm)을 \(\| \cdot \|\)로 표시합니다 (따라서 \(\mathbb{R}^n\)는 보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)이 부여됩니다). 다음 구성은 \(U\)에서 양수이고 \(U\)의 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)를 정의합니다. 따라서 특히, \(U\)가 상대적으로 컴팩트하면, 이 함수 \(f\)는 혹 함수가 될 것입니다.
만약 \(U = \mathbb{R}^n\)이면 \(f = 1\)라고 놓고 반면에 \(U = \varnothing\)이면 \(f = 0\)라고 놓습니다; 따라서 \(U\)가 이들 중 어느 것도 아니라고 가정합니다. \(\left(U_k\right)_{k=1}^{\infty}\)를 열린 공 \(U_k\)가 반지름 \(r_k > 0\)을 가지고 중심 \(a_k \in U\)를 가지는 열린 공에 의한 \(U\)의 열린 덮개라고 놓습니다. 그런-다음 \(f_k(x) = c\left(r_k^2 - \left\|x - a_k\right\|^2\right)\)에 의해 정의된 맵 \(f_k : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)은 \(U_k\)에서 양수이고 \(U_k\) 밖에서 사라지는 매끄러운 함수입니다. 모든 각 \(k \in \mathbb{N}\)에 대해, 다음이라고 놓습니다:
\(\quad\displaystyle M_k = \sup \left\{\left|\frac{\partial^p f_k}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n}(x)\right| ~:~ x \in \mathbb{R}^n \text{ and } p_1, \ldots, p_n \in \mathbb{Z} \text{ satisfy } 0 \leq p_i \leq k \text{ and } p = \sum_i p_i\right\},\)
여기서 이 상한(supremum)은 \(+\infty\)와 같지 않은데 (따라서 \(M_k\)는 음이 아닌 실수), 왜냐하면 \(\left(\mathbb{R}^n \setminus U_k\right) \cup \overline{U_k} = \mathbb{R}^n,\) 부분 도함수는 \(U_k\)의 밖의 임의의 \(x\)에서 모두 사라지고 (\(0\)과 같고), 반면에 컴팩트 집합 \(\overline{U_k}\) 위에, 각 (유한하게 많은) 부분 도함수의 값은 일부 비-음의 실수에 의해 위에 (균등하게) 경계져 있습니다. 다음 급수는
\(\quad\displaystyle f := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{f_k}{2^k M_k}\)
\(\mathbb{R}^n\) 위에 \(U\)에서 양수이고 \(U\) 밖에서 사라지는 매끄러운 함수 \(f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)으로 균등하게 수렴합니다. 게다가, 임의의 비-음의 정수 \(p_1, \ldots, p_n \in \mathbb{Z}\)에 대해,
\(\quad\displaystyle \frac{\partial^{p_1+\cdots+p_n}}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n} f = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k M_k} \frac{\partial^{p_1+\cdots+p_n} f_k}{\partial^{p_1} x_1 \cdots \partial^{p_n} x_n}\)
여기서 이 급수는 \(\mathbb{R}^n\)에서 균등하게 수렴합니다 (왜냐하면 \(k \geq p_1 + \cdots + p_n\)일 때마다, \(k\)-번째 항의 절댓값은 \(\leq \frac{M_k}{2^k M_k} = \frac{1}{2^k}\)이기 때문입니다).
따름 정리로서, \(\mathbb{R}^n\)의 두 개의 서로소 닫힌 부분집합 \(A, B\)와 임의의 \(x \in \mathbb{R}^n\)에 대해, \(f_A(x) = 0\)인 것과 \(x \in A\)인 것이 필요충분 조건이고, 유사하게 \(f_B(x) = 0\)인 것과 \(x \in B\)인 것이 필요충분 조건임을 만족하는 매끄러운 비-음의 함수 \(f_A, f_B : \mathbb{R}^n \to [0, \infty)\)가 주어지면, 함수 \(f := \frac{f_A}{f_A + f_B} : \mathbb{R}^n \to [0, 1]\)는 매끄러운 것이고, 임의의 \(x \in \mathbb{R}^n\)에 대해, \(f(x) = 0\)인 것과 \(x \in A\)인 것이 필요충분 조건이고, \(f(x) = 1\)인 것과 \(x \in B\)인 것이 필요충분 조건이고, \(0 < f(x) < 1\)인 것과 \(x \not\in A \cup B\)인 것이 필요충분 조건입니다. 특히, \(f(x) \neq 0\)인 것과 \(x \in \mathbb{R}^n \smallsetminus A\)인 것이 필요충분 조건이므로, 게다가 \(U := \mathbb{R}^n \smallsetminus A\)가 \(\mathbb{R}^n\)에서 상대적으로 컴팩트이면 (여기서 \(A \cap B = \varnothing\)는 \(B \subseteq U\)를 의미함), \(f\)는 \(\overline{U}\)에서 지원을 갖는 매끄러운 혹 함수가 될 것입니다.
Properties and uses
혹 함수는 매끄러운 것이지만, 그것들은 동일하게 사라지지(vanish) 않는 한 해석적(analytic)일 수 없습니다 이것은 항등 정리(identity theorem)의 간단한 결과입니다. 혹 함수는 종종 완화자(mollifiers)로, 매끄러운 절단 함수(cutoff functions)로, 및 매끄러운 단위의 분할(partitions of unity)을 형성하기 위해 사용됩니다. 그것들은 해석학에 사용되는 가장 공통적인 테스트 함수(test functions)의 클래스입니다. 혹 함수의 공간은 많은 연산 아래에서 닫혀 있습니다. 예를 들어, 두 혹 함수의 합, 곱, 또는 합성곱(convolution)은 다시 혹 함수이고, 매끄러운 계수를 갖는 임의의 미분 연산자(differential operator)는, 혹 함수에 적용될 때, 또 다른 혹 함수를 생성할 것입니다.
만약 혹 함수 도메인의 경계가 \(\partial x\)이면, "매끄러움"의 요구 사항을 충족하기 위해 그것은 모든 도함수의 연속성을 보존해야 하며, 이는 그 도메인의 경계에서 다음 요구 사항으로 이어집니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{x \to \partial x^\pm} \frac{d^n}{dx^n} f(x) = 0,\,\text { for all } n \geq 0, \,n \in \mathbb{Z}\)
혹 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 (실수) 해석적 함수이고, 전체 복소 평면으로 확장될 수 있습니다: 따라서 유일한 전체 해석적 혹 함수가 영 함수이기 때문에, 그것이 영이 아닌 한 컴팩트하게 지원된 것일 수 없습니다 (Paley–Wiener theorem와 Liouville's theorem를 참조하십시오). 혹 함수는 무한하게 미분-가능이기 때문에, 그것의 푸리에 변환은 큰 각 주파수 \(|k|\)에 대해 \(1/k\)의 임의의 유한한 거듭제곱보다 더 빨리 감쇠해야 합니다. 위로부터 다음 특정 혹 함수의 푸리에 변환은
\(\quad\displaystyle \Psi(x) = e^{-1/(1-x^2)} \mathbf{1}_{\{|x|<1\}}\)
안장-점 방법(saddle-point method)에 의해 분석될 수 있고, 큰 \(|k|\)에 대해 다음과 같이 점근적으로 감쇄합니다:
\(\quad\displaystyle |k|^{-3/4} e^{-\sqrt{|k|}}\)
References
- Nestruev, Jet (10 September 2020). Smooth Manifolds and Observables. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 220. Cham, Switzerland: Springer Nature. ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718.
