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(번역) Boole's inequality

by 다움위키 2024. 1. 12.
Original article: w:Boole's inequality

 
확률 이론(probability theory)에서, 부울의 부등식(Boole's inequality)은 합(집합) 경계(union bound)로 역시 알려져 있으며, 사건(event)의 임의의 유한(finite) 또는 셀-수-있는(countable) 집합(set)에 대해, 적어도 하나의 사건이 발생할 확률은 개별 사건의 확률의 합보다 더 클 수 없음을 말합니다. 부울의 부등식은 조지 부울(George Boole)의 이름을 따서 지어졌습니다.
공식적으로, 사건 \(A_1,A_2,A_3, ...\)의 셀-수-있는 집합에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \le \sum_i {\mathbb P}(A_i).\)
측정-이론적(measure-theoretic) 용어에서, 부울의 부등식은 측정 (및 특정 임의의 확률 측정(probability measure))은 σ-부분-덧셈적(sub-additive)인 사실로부터 따릅니다.

Proof

Proof using induction

부울의 부등식은 귀납법의 방법을 사용하여 사건의 유한 모음에 대해 입증될 수 있을 것입니다.
\(n=1\) 경우에 대해, 그것은 다음임을 따릅니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1).\)
경우 \(n\)에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle {\mathbb P}\left (\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i).\)
왜냐하면 \(\mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\)이고, 합(집합) 연산은 결합적(associative)이기 때문에, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) -\mathbb{P} \left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right).\)
다음이므로:
\(\quad\displaystyle {\mathbb P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right) \ge 0,\) 
확률의 첫 번째 공리(first axiom of probability)에 의해, 우리는 다음을 가지고,
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right ) \le \mathbb{P}\left (\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}),\)
따라서
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i) + \mathbb{P}(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_i).\)

Proof without using induction

확률 공간에서 \(A_1, A_2, A_3, \dots \)에서 임의의 사건에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \leq \sum_i \mathbb P(A_i)\)
확률 공간의 공리 중에 하나는, 만약 \(B_1, B_2, B_3, \dots\)가 확률 공간의 서로소 부분집합이면, 다음인 것입니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb{P}\left(\bigcup_{i} B_i\right) = \sum_i \mathbb P(B_i)\)
이것은 셀-수-있는 덧셈성(countable additivity)으로 불립니다.
만약 \(B \subset A\)이면, \(\mathbb P (B) \leq \mathbb P(A)\)입니다.
사실, 확률 분포의 공리로부터,
\(\quad\displaystyle \mathbb P (A) = \mathbb P(B) + \mathbb P(A-B)\)
오른쪽의 두 항은 비-음임에 주목하십시오.
이제 우리는 집합 \(A_i\)를 수정해야 하므로, 그들은 서로소가 됩니다.
\(\quad\displaystyle B_i = A_i - \bigcup^{i-1}_{j=1} A_j\)
따라서 만약 \(B_i \subset A_i\)이면, 우리는 다음임을 압니다:
\(\quad\displaystyle \bigcup^{\infty}_{i=1} B_i = \bigcup^{\infty}_{i=1} A_i\)
그러므로, 우리는 다음 방정식을 추론할 수 있습니다:
\(\quad\displaystyle \mathbb P \left(\bigcup_iA_i\right) = \mathbb P \left(\bigcup_iB_i\right) = \sum_i \mathbb P (B_i) \leq \sum_i \mathbb P(A_i)\)

Bonferroni inequalities

부울의 부등식은 사건의 유한 합집합(finite unions)의 확률에 대한 위쪽(upper)과 아래쪽 경계(lower bound)를 찾기 위해 일반화될 수 있습니다. 이들 경계는 카를로 에밀리오 본페로니(Carlo Emilio Bonferroni)의 이름을 따서, 본페르니의 부등식(Bonferroni inequalities)으로 알려져 있습니다; Bonferroni (1936)를 참조하십시오.
{3, ..., n}에서 모든 정수 k에 대해, 다음을 정의합니다:
\(\quad\displaystyle S_1 := \sum_{i=1}^n {\mathbb P}(A_i),\)
및
\(\quad\displaystyle S_2 := \sum_{1\le i<j\le n} {\mathbb P} \left (A_i \cap A_j \right ),\)
마찬가지로
\(\quad\displaystyle S_k := \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} {\mathbb P} \left (A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} \right )\).
그런-다음, {1, ..., n}에서 홀수(odd) k에 대해,
\(\quad\displaystyle {\mathbb P} \left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \le \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j,\)
및 {2, ..., n}에서 짝수(even) k에 대해,
\(\quad\displaystyle {\mathbb P}\left ( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \ge \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} S_j.\)
부울의 부등식은 초기 경우, k = 1입니다. k = n일 때, 그런-다음 부등식은 유지되고 결과로써 생기는 항등식은 포함–제외 원리(inclusion–exclusion principle)입니다.

References

 

 
 
 

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