선형 대수학(linear algebra)에서, 증가된 행렬(augmented matrix)은 보통 주어진 각 행렬에 대해 같은 기본 행 연산(elementary row operations)을 수행할 목적으로 주어진 두 행렬의 열을 덧붙임으로써 얻은 행렬(matrix)입니다.
행렬 A와 B가 다음과 같이 주어졌을 때,
\(\quad
A =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 2 \\
2 & 0 & 1 \\
5 & 2 & 2
\end{bmatrix}
, \quad
B =
\begin{bmatrix}
4 \\
3 \\
1
\end{bmatrix},
\)
증가된 행렬 (A|B)는 다음과 같이 씁니다:
\(\quad
(A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 4 \\
2 & 0 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 2 & 1
\end{array}\right].
\)
이는 선형 방정식의 시스템을 풀 때 유용합니다.
주어진 숫자의 미지수에 대해, 선형 방정식의 시스템에 대한 해의 개수는 시스템을 나타내는 행렬의 랭크와 해당하는 증가된 행렬의 랭크에만 의존합니다. 특히 루셰–카펠리 정리(Rouché–Capelli theorem)에 따르면, 임의의 선형 방정식의 시스템은 만약 증가된 행렬의 랭크(rank)가 계수 행렬(coefficient matrix)의 랭브보다 크면, 불일치(inconsistent)입니다 (해를 가지지 않습니다); 다른 한편으로, 이들 두 행렬의 랭크가 같으면, 그 시스템은 적어도 하나의 해를 가져야 합니다. 해가 고유한 것과 랭크가 변수의 숫자와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 그렇지 않으면 일반적인 해는 k개의 자유 매개변수를 가지며, 여기서 k는 변수의 개수와 랭크 사이의 차이입니다; 따라서 그러한 경우에서 해의 무한대가 있습니다.
증가된 행렬은 항등 행렬(identity matrix)과 행렬을 조합함으로써 그것의 역을 찾기 위해 사용될 수도 있습니다.
To find the inverse of a matrix
\(C\)를 정사각 2×2 행렬이라고 놓습니다:
\(\quad
C =
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
-5 & 0
\end{bmatrix}.
\)
\(C\)의 역을 찾기 위해 \((C|I)\)를 생성하며, 여기서 \(I\)는 2×2 항등 행렬(identity matrix)입니다. 그런-다음 \((C|I)\)의 \(C\)에 해당하는 부분을 \((C|I)\) 위에 기본 행 연산만 사용하여 항등 행렬로 축소합니다:
\(\quad
(C|I) =
\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 3 & 1 & 0\\
-5 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\)
\(\quad
(I|C^{-1}) =
\left[\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & 0 & -\frac{1}{5} \\
0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{15}
\end{array}\right],
\)
이것은 오른쪽 부분은 원래 행렬의 역입니다.
Existence and number of solutions
다음 선형 방정식의 시스템을 생각해 보십시오:
\(\quad \begin{align}
x + y + 2z &= 2 \\
x + y + z &= 3 \\
2x + 2y + 2z &= 6.
\end{align}\)
계수 행렬은 다음과 같습니다:
\(\quad A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
\end{bmatrix},
\)
그리고 증가된 행렬은 다음과 같습니다:
\(\quad (A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 2\\
1 & 1 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 2 & 6
\end{array}\right].\)
이들 둘 다는 같은 랭크, 즉 2를 가지기 때문에, 적어도 하나의 해가 존재합니다; 그리고 그들의 랭크는 미지수의 개수보다 적기 때문에, 후자는 3개, 무한한 개수의 해가 있습니다.
반대로, 다음 시스템을 생각해 보십시오:
\(\quad \begin{align}
x + y + 2z &= 3 \\
x + y + z &= 1 \\
2x + 2y + 2z &= 5.
\end{align}\)
계수 행렬은 다음과 같습니다:
\(\quad A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 \\
\end{bmatrix},\)
그리고 증가된 행렬은 다음과 같습니다:
\(\quad
(A|B) = \left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 2 & 5
\end{array}\right].\)
이 예제에서 계수 행렬은 랭크 2를 가지고 증가된 행렬은 랭크 3을 가집니다; 따라서 이 방정식의 시스템은 해를 가지지 않습니다. 실제로, 선형 독립 행의 개수가 증가함에 따라 방정식의 시스템을 '''불일치'''로 만듭니다.
Solution of a linear system
선형 대수학에서 사용되는 것처럼, 증가된 행렬은 각 방정식 집합의 계수(coefficients)와 해 벡터를 나타내기 위해 사용됩니다. 다음 방정식의 집합에 대해,
\(\quad \begin{align}
x + 2y + 3z &= 0 \\
3x + 4y + 7z &= 2 \\
6x + 5y + 9z &= 11
\end{align}\)
계수와 상수 항은 다음 행렬을 제공합니다:
\(\quad A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 7 \\
6 & 5 & 9
\end{bmatrix}
, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 \\
2 \\
11
\end{bmatrix},
\)
그리고 따라서 다음과 같은 증가된 행렬을 제공합니다:
\(\quad (A|B) =
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 3 & 0 \\
3 & 4 & 7 & 2 \\
6 & 5 & 9 & 11
\end{array}\right].\)
계수 행렬의 랭크는, 이는 3이며, 증가된 행렬의 랭크와 같으므로, 적어도 하나의 해가 존재합니다; 그리고 이 랭크는 미지수의 개수와 같기 때문에, 정확하게 하나의 해가 있습니다.
해을 얻기 위해, 행 연산이 왼쪽 편을 항등 행렬로 얻기 위해 증가된 행렬에 수행되어, 다음을 얻을 수 있습니다:
\(\quad \left[\begin{array}{ccc|r}
1 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & -2 \\
\end{array}\right],\)
따라서 시스템의 해는 (x, y, z) = (4, 1, −2)입니다.
References
- Marvin Marcus and Henryk Minc, A survey of matrix theory and matrix inequalities, Dover Publications, 1992, ISBN 0-486-67102-X. Page 31.