수학(mathematics), 특히 토폴로지(topology)에서, 아틀라스(atlas)는 매니폴드를 설명하기 위해 사용되는 개념입니다. 아틀라스는, 대략적으로 말하자면, 매니폴드의 개별 영역을 설명하는 개별 차트(charts)로 구성됩니다. 일반적으로, 아틀라스의 개념은 벡터 다발(vector bundles)과 다른 올 다발(fiber bundles)과 같은 매니폴드(manifold)와 관련된 구조의 형식적인 정의에 기초합니다.
Charts
아틀라스의 정의는 차트(chart)의 개념에 따라 다릅니다. 토폴로지적 공간(topological space) M에 대해 차트(chart)는 M의 열린 부분집합(open subset) U로부터 유클리드 공간(Euclidean space)의 열린 부분집합으로의 위상동형(homeomorphism) \(\varphi\)입니다. 차트는 전통적으로 순서 쌍 \((U, \varphi)\)으로 기록됩니다.
유클리드 공간에서 좌표 시스템이 선택될 때, 이것은 \(U\) 위의 좌표를 정의합니다: \(U\)의 점 \(P\)의 좌표는 \(\varphi(P)\)의 좌표로 정의됩니다. 차트에 의해 형성된 쌍과 그러한 좌표 시스템은 지역적 좌표 시스템(local coordinate system), 좌표 차트(coordinate chart), 좌표 패치(coordinate patch), 좌표 맵(coordinate map), 또는 지역적 프레임(local frame)이라고 불립니다.
Formal definition of atlas
토폴로지적 공간(topological space) \(M\)에 대해 아틀라스(atlas)는 \(M\) (즉, \(\bigcup_{\alpha\in I} U_{\alpha} = M\))을 덮는 \(M\) 위에 차트의 인덱스된 가족(indexed family) \(\{(U_{\alpha}, \varphi_{\alpha}) : \alpha \in I\}\)입니다. 만약 일부 고정된 n에 대해, 각 차트의 이미지(image)가 n-차원 유클리드 공간(Euclidean space)의 열린 부분집합이면, \(M\)은 n-차원 매니폴드(manifold)라고 말합니다.
일부 저자는 atlantes를 사용하지만 atlas의 복수형은 atlases입니다.
\(n\)-차원 매니폴드 \(M\) 위에 아틀라스 \(\left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I}\)는 다음 조건을 유지하면 적절한 아틀라스(adequate atlas)라고 불립니다:
- 각 차트의 이미지(image)는 \(\mathbb{R}^n\) 또는 \(\mathbb{R}_+^n\)이며, 여기서 \(\mathbb{R}_+^n\)은 닫힌 절반-공간(closed half-space)입니다.
- \(\left( U_i \right)_{i \in I}\)는 \(M\)의 지역적 유한(locally finite) 열린 덮개입니다. 그리고
- \(M = \bigcup_{i \in I} \varphi_i^{-1}\left( B_1 \right)\), 여기서 \(B_1\)은 원점에 중심을 둔 반지름 1의 열린 공입니다.
모든 각 두 번째-셀-수-있는(second-countable) 매니폴드는 적절한 아틀라스를 인정합니다. 게다가, 만약 \(\mathcal{V} = \left( V_j \right)_{j \in J}\)가 두 번째-셀-수-있는 매니폴드 \(M\)의 열린 덮는 것이면, \(\left( U_i\right)_{i \in I}\)가 \(\mathcal{V}\)의 세분화(refinement)임을 만족하는 \(M\) 위에 적절한 아틀라스 \(\left( U_i, \varphi_i \right)_{i \in I}\)가 있습니다.
Transition maps
전이 맵은 아틀라스의 두 차트를 비교하는 방법을 제공합니다. 이 비교를 만들기 위해, 우리는 한 차트의 합성을 나머지 다른 차트의 역(inverse)으로 고려합니다. 이 합성은 우리가 두 차트를 정의의 도메인(domains)의 교집합(intersection)으로 제한하지 않는 한 잘-정의되지 않습니다. (예를 들어, 우리가 유럽의 차트와 러시아의 차트를 가지면, 우리는 그것들의 겹침, 즉 러시아의 유럽 부부 위에 이들 두 차트를 비교할 수 있습니다.)
더 정확하게 되기 위해, \((U_{\alpha}, \varphi_{\alpha})\)와 \((U_{\beta}, \varphi_{\beta})\)가 \(U_{\alpha} \cap U_{\beta}\)가 비-빈(non-empty) 것임을 만족하는 매니폴드 M에 대해 두 차트라고 가정합니다. 전이 맵(transition map) \( \tau_{\alpha,\beta}: \varphi_{\alpha}(U_{\alpha} \cap U_{\beta}) \to \varphi_{\beta}(U_{\alpha} \cap U_{\beta})\)은 다음에 의해 정의된 맵입니다: \(\tau_{\alpha,\beta} = \varphi_{\beta} \circ \varphi_{\alpha}^{-1}.\)\(\varphi_{\alpha}\)와 \(\varphi_{\beta}\)는 모두 위상동형이므로, 전이 맵 \( \tau_{\alpha, \beta}\)도 위상동형임에 주목하십시오.
More structure
우리는 종종 단순히 토폴로지적 구조보다 매니폴드 위에 더 많은 구조를 원합니다. 예를 들어, 만약 매니폴드 위에 함수의 미분화(differentiation)에 대한 명백한 개념을 원한다면, 그 전이 함수가 미분-가능(differentiable)이라는 아틀라스를 구성해야 합니다. 그러한 매니폴드는 미분-가능(differentiable)이라고 불립니다. 미분-가능 매니폴드가 주어졌을 때, 접 벡터(tangent vectors)의 개념을 명확하게 정의하고 그런-다음 방향 도함수(directional derivatives)의 개념을 정의할 수 있습니다.
만약 각 전이 함수가 매끄러운 맵(smooth map)이면, 아틀라스는 매끄러운 아틀라스(smooth atlas)라고 불리고, 매니폴드 자체는 매끄러운(smooth) 것이라고 불립니다. 대안적으로, 전이 맵이 k 연속 도함수만 있어야 한다고 요구할 수 있으며, 이 경우에서 아틀라스는 \( C^k \)라고 말합니다.
매우 일반적으로, 각 전이 함수가 유클리드 공간의 위상동형의 유사그룹(pseudogroup) \( \mathcal G\)에 속하면, 그 아틀라스는 \(\mathcal G\)-아틀라스라고 불립니다. 만약 아틀라스의 차트 사이의 전이 맵이 지역적 자명화(local trivialization)를 보존하면, 그 아틀라스는 올 다발의 구조를 정의합니다.
See also
References
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External links
- Atlas by Rowland, Todd
