(번역) Areas of mathematics

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수학(Mathematics)은 그것의 역사(history)에 걸쳐 점점 더 다양하고 깊이 있는 주제를 포괄하고, 그것의 이해는 이들 다양한 주제를 보다 일반적인 수학의 영역(areas of mathematics) 또는 수학의 분야(fields of mathematics)로 분류하고 구성하기 위한 시스템을 요구합니다. 다양한 분류 체계가 생겨났고, 비록 그것들이 일부 유사점을 공유하지만, 부분적으로 그것들이 이바지하는 서로 다른 목적으로 인해 차이점이 있습니다.
수학의 전통적인 구분은 순수 수학(pure mathematics); 그것의 본질적인 관심을 위해 연구되는 수학, 및 응용 수학(applied mathematics); 실생활 문제에 직접 적용될 수 있는 수학으로 나뉩니다. 이 구분이 항상 명확한 것은 아니고 많은 주제가 나중에 의외의 응용을 찾기 위해 순수 수학으로 발전되어 왔습니다. 이산 수학(discrete mathematics), 계산 수학(computational mathematics) 등과 같은 광범위한 부문이 최근에 등장해 왔습니다.
이상적인 분류 시스템은 이전 지식의 조직에 새로운 영역을 추가하고, 놀라운 발견과 예상치 못한 상호 작용을 개요에 맞추는 것을 허용합니다. 예를 들어, 랭글랜즈 프로그램(Langlands program)은 이전에 연결되지 않는다고 생각했던 영역, 적어도 갈루아 그룹(Galois groups), 리만 표면(Riemann surface), 및 숫자 이론(number theory) 사이의 예기치 않은 연결을 발견해 왔습니다.

Classification systems

• 다움위키는 그것의 기사에 대한 영문 위키피디아 번역 문서와 수학 교과서 관련 문서 시스템을 사용하고, 역시 수학 목록의 목록(list of mathematics lists)을 가지고 있습니다.
• 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification) (MSC)는 검토 데이터베이스 Mathematical Reviews와 Zentralblatt MATH의 직원에 의해 생성됩니다. 많은 수학 저널은 저자에게 그들 논문에 MSC 주제 코드로 이름-지정하도록 요청합니다. MSC는 수학을 60개 이상의 영역으로 나누고, 각 영역 내에서 더 세분화합니다.
• 미국 의회 도서관 분류(Library of Congress Classification)에서, 수학은 클래스 Q (과학) 내에서 많은 부분클래스 QA로 할당됩니다. LCC는 광범위한 구분을 정의하고, 개별 주제에는 특정 숫자 값을 할당받습니다.
• 듀이 십진 분류(Dewey Decimal Classification)는 수학을 대수학(Algebra) & 숫자 이론(Number theory), 산술(Arithmetic), 토폴로지(Topology), 해석학(Analysis), 기하학(Geometry), 수치 해석학(Numerical analysis), 및 확률(Probabilities) & 응용 수학(Applied mathematics)에 대해 세분화를 갖는 부문 510에 할당합니다.
• 수학 목록 내의 카테고리는 사전-인쇄를 카테고리화하기 위해 arXiv에 의해 사용됩니다. 그것은 MSC와 다릅니다; 예를 들어, 그것은 양자 대수학(Quantum algebra) 같은 것을 포함합니다.
• IMU는 매 4년마다 그것의 ICM에서 강의를 조직하기 위해 그것의 프로그램 구조를 사용합니다. MSC가 가지지 않는 최상위 섹션 중 하나는 리 이론(Lie theory)입니다.
• ACM 컴퓨팅 분류 시스템(ACM Computing Classification System)은 몇 가지 수학적 카테고리] F. 계산의 이론 및 G. 컴퓨팅의 수학을 포함합니다.
• MathOverflow는 태그 시스템(tag system)을 가지고 있습니다.
• Springer (하위분야), Cambridge (수학과 통계학 검색), 및 AMS (주제 영역)와 같은 수학 책 출판사는 그들 웹사이트에서 고객들에게 최상위 제목으로 수학적 생물학(mathematical biology)과 수학적 금융(mathematical finance)과 같은 주제를 포함하여 하위분야별로 책을 검색하거나 검색을 필터링하도록 활성화하기 위해 자체 주제 목록을 사용합니다.
• 학교와 기타 교육 기관은 강의계획서(syllabus)를 가집니다.
• SIAM은 활동 그룹에서 응용 수학의 영역을 나눕니다.

Major divisions of mathematics

Pure mathematics

Foundations of mathematics

수학자들은 항상 논리와 기호(symbols)로 연구해 왔지만, 수세기 동안 논리의 놓여있는 법칙은 당연하게 받아들여졌고, 결코 기호적으로 표현되지 않았습니다. 역시 기호적 논리(symbolic logic)라고 알려진 수학적 논리(mathematical logic)는 사람들이 마침내 수학의 도구가 논리 자체의 구조를 연구하기 위해 사용될 수 있다는 것을 깨달았을 때 개발되었습니다. 이 분야에서 연구의 영역은 빠르게 확장되어 왔고, 보통 여러 구별되는 하위분야로 세분화됩니다.

• 증명 이론(Proof theory)과 구성적 수학(constructive mathematics): 증명 이론은 수학에서 모든 증명을 공식화하기 위해 다비트 힐베르트(David Hilbert)의 야심 찬 프로그램에서 비롯되었습니다. 그 분야에서 가장 유명한 결과는 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems)에 요약되어 있습니다. 밀접하게 관련되어 있고 현재 꽤 인기 있는 개념은 튜링 기계(Turing machines)의 아이디어입니다. 구성주의(Constructivism)는 논리 자체의 본성의 브라우어르(Brouwer)의 비정통적 견해의 파생물입니다; 구성적으로 말하자면, 수학자들은 그들이 실제로 원을 나타내고 그 원형도를 측정할 때까지 "원은 둥글거나, 그렇지 않다"라고 주장할 수 없습니다.

• 모델 이론(Model theory): 모델 이론은 수학, 특히 대수학(algebra)에서 다양한 영역으로부터 수학적 논리와 도구를 조합함으로써 일반적인 프레임워크에서 형식적인 수학적 구조(structures)를 연구합니다. 그것의 주요 도구는 일-차 논리(first-order logic)입니다.

• 계산-가능성 이론(Computability theory): 역시 재귀 이론(recursion theory)으로 알려진, 계산-가능성 이론은 공식적으로 계산(computation), 알고리듬(algorithms), 및 계산-가능 함수(computable function)를 연구합니다. 그것의 기원은 기본적으로 알고리듬에 의해 계산될 수 있는 임의의 함수가 계산-가능 함수(function)인 방법을 설명하는 다비트 힐베르트(David Hilbert)의 Entscheidungsproblem과 처치–튜링 논제(Church–Turing thesis)를 통한 그것의 해결책에 있습니다. 그것은 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)의 많은 주제와 밀접한 연결점을 가집니다.

• 집합 이론(Set theory): 집합(set)은 몇 가지 공통된 특징에 의해 합병된 별개의 것들의 모음으로 생각될 수 있습니다. 집합 이론은 세 가지 주요 영역으로 세분화됩니다. 소박한 집합 이론(Naïve set theory)은 19세기 말에 수학자들에 의해 개발된 독창적인 집합 이론입니다. 공리적 집합 이론(Axiomatic set theory)은 소박한 집합 이론에서 (러셀의 역설(Russell's paradox)과 같은) 심각한 결함의 발견에 대한 응답에서 개발된 엄격한 공리(axiom)적 이론입니다. 그것은 집합을 "공리를 만족시키는 무엇이든"으로 취급하고, 사물의 집합의 개념은 오직 공리에 대해 동기로 작용합니다. 내부 집합 이론(Internal set theory)은 실수(real number) 내에서 무제한(illimited) (엄청나게 큰)과 무한소(infinitesimal) (상상할 수 없게 작은) 원소의 논리적으로 일관(logically consistent)된 식별을 지원하는 집합 이론의 공리적 확장입니다. 역시 집합 이론 주제 목록(List of set theory topics)을 참조하십시오.

• 카테고리 이론(Category theory): 카테고리(category)는 수학적 정보를 이름-지정된(labeled) 방향화된 그래프(directed graph)의 구조로 구성하여, "맵(maps)", "사상(morphism)", 또는 "화살표(arrows)"로 참조되는 구별되는 대상의 모음과 그것들 사이의 관계 둘 다를 고려하기 위해 집합의 개념을 확장합니다. 조직적 구조로서, 카테고리 이론은 순수 수학의 많은 영역, 특히 표시 이론(representation theory), 대수적 토폴로지(algebraic topology), 대수적 기하학(algebraic geometry), 호몰로지 이론(homology theory), 호모토피 이론(homotopy theory), 및 호몰로지 대수학(homological algebra)과 같은 대수적 연결을 갖는 주제를 통틀어 공통 사용법을 찾습니다. 어쨌든, 그것의 유비쿼터스 구조로 인해, 카테고리 이론은 컴퓨터 과학 (특히 함수형 프로그래밍(functional programming)), 물리학, 및 기타 주제뿐만 아니라 수학의 많은 다른 영역에서도 응용되고 있습니다.

Analysis

수학 내에서, 해석학(analysis)은 함수(functions), 극한(limits), 도함수(derivative), 변화율(rates of change), 적분(integrals), 및 서로에 관해 (또는 독립적으로) 변화하는 여러 가지에 초점을 맞추는 가지입니다.
현대 해석학은 숫자 이론(number theory), 암호학(cryptography), 및 추상 대수학(abstract algebra)과 같은 다양한 주제에서 직접과 간접적 응용을 찾아 거의 모든 각 분야의 재분화를 다루는 광범위하고 빠르게 확장되는 수학의 한 가지입니다. 그것은 역시 과학 자체의 언어이고 천체-물리학(astrophysics)에서 X-선 결정학(X-ray crystallography)에 이르기까지 화학(chemistry), 생물학(biology), 및 물리학(physics) 전반에 걸쳐 사용됩니다. 수학 자체 내에서, 해석학은 해석적 숫자 이론(analytic number theory), 확률 이론(probability theory), 및 미분 기하학(differential geometry)과 같은 다른 수학 분야에서 공통적으로 사용됩니다. 순수 수학의 가장 큰 가지 중 하나로서, 그것은 많은 하위분야를 가집니다.

• 실수 해석학(Real analysis): 실수 해석학은 실수-값 함수(real-valued function)와 실수(real number)를 연구합니다. 전통적으로, 그것은 오직 단일 실제 변수의 주제를 포함합니다. 주요 주제는 실수와 함수의 수열(sequence)과 급수(series), 연속성(continuity), 유클리드 직선(Euclidean line)의 컴팩트성(compactness), 함수의 극한(limits of functions), 리만 적분(Riemann integral)을 포함합니다. 그것은 공통적으로 미적분학과 같이 엄격하지 않은 방식으로 학교 수준에서 가르칩니다. 그것은 해석학에서 거의 모든 추가 연구에 대해 기초를 형성합니다.

• 다변수 실수 해석학(Multivariable real analysis) & 벡터 해석학(Vector analysis): 다변수 해석학은 하나가 아닌 여러 변수의 설정에서 그것들을 연구한다는 점을 제외하고는 실수 해석학과 유사한 주제를 연구합니다. 벡터 해석학은 벡터 필드(vector field)의 미분과 적분에 관련되고 특히 물리학과 공학에서 필드(fields)를 연구하는 데 유용합니다. 주요 주제는 그래디언트(gradient), 컬(curl), 그린의 정리(Green's theorem), 스톡스의 정리(Stokes' theorem), 및 발산 정리(divergence theorem)를 포함합니다. 실수 해석학과 마찬가지로, 이들 주제는 공통적으로 학부(undergraduate) 수준에서 다변수 미적분학(multivariable calculus)으로 가르칩니다.

• 복소 해석학(Complex analysis): 복소 해석학은 복소수(complex number)의 함수를 연구합니다. 여기서 연구된 함수는 그것들을 무한하게 미분-가능하고 해석적 (자체의 테일러 급수(Taylor series)와 지역적으로 같음)으로 활성화하는 코시–리만 방정식(Cauchy–Riemann equations)으로 인해 특별히 "좋음"을 나타냅니다. 공통 주제 연구는 정칙 함수(holomorphic function), 코시의 적분 정리(Cauchy's integral theorem), 잔여 정리(residue theorem), 및 등각 맵(conformal map)을 포함합니다. 그것은 물리학과 공학, 특히 특정 종류의 적분을 푸는 데 널리 적용됩니다. 실수 해석학과 마찬가지로, 복소 해석학을 여러 변수의 함수로의 확장이 존재합니다.

• 푸리에 해석학(Fourier analysis): 푸리에 해석학은 푸리에 급수(Fourier series)와 일반적으로 함수가 실수 직선(real line) 위에 더 단순한 삼각 함수의 합으로 분해될 수 있는 방법을 연구합니다. 그것은 푸리에 변환(Fourier transform)과 같은 물리학과 공항에서 널리 응용을 가집니다.

• 조화 해석학(Harmonic analysis): 조화 해석학은 유사한 주제를 연구하지만 임의적인 공간(arbitrary spaces)과 그룹(groups)과 같은 다양한 종류의 수학 구조로 일반화하는 푸리에 해석학의 일반화입니다. 연구의 주요 주제는 주기적 함수(periodic functions), 웨이블릿(wavelet), 피터–바일 정리(Peter–Weyl theorem), 및 폰트랴긴 이중성(Pontryagin duality)을 포함합니다. 그것은 표시 이론(representation theory)과 특히 강한 연관성을 가지고 있습니다.

• 측정 이론(Measure theory): 측정 이론은 측정, 다양한 종류의 기하학적 측정(geometric measurements)의 일반화를 연구합니다. 기술적으로 말하면, 집합(set)에 대한 측정은 해당 집합의 각 부분집합(subset)에 숫자를 제공하는 것의 방법이고, 따라서 집합의 크기를 생성하는 방법을 제공합니다. 측정 이론은 르베그 측정(Lebesgue measure)의 사용을 통한 르베그 적분(Lebesgue integration)과 확률 측정(probability measure)의 사용을 통한 확률 이론(probability theory)의 토대입니다. 그 분야는 역시 집합 이론(set theory)과 함수형 해석학과 중요한 연결을 가지며, 때때로 실수 또는 함수형 해석학의 하위분야로 고려됩니다. 측정 이론의 주요 하위분야는 기하 측정 이론(geometric measure theory)입니다.

• 함수형 해석학(Functional analysis): 함수형 해석학은 토폴로지(topology) 또는 안의 곱(inner product)과 같은 추가 구조를 갖춘 무한-차원 벡터 공간(vector space)과 연속 맵(continuous maps)과 이들 사이의 고전적 실수 해석학에서 수렴과 같은 기타 주제를 다룹니다. 대안적으로, 함수형 해석학은 함수 공간(function space)과 그들 사이의 선형 연산자(linear operator)를 연구하기 위해 설명될 수 있습니다. 어쨌든, 함수형 해석학은 역시 비선형 맵을 연구하지만, 이 연구의 영역은 선형 함수형 해석학에 비해 훨씬 더 작음에 주목하는 것이 중요합니다. 주요 결과는 균등 경계성 정리(Uniform boundedness theorem), 한–바나흐 정리(Hahn–Banach theorem), 열린 매핑 정리(Open mapping theorem), 및 다양한 종류의 스펙트럼 정리(spectral theorem)를 포함합니다. 연구의 주요 세분은 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space), 분포의 이론(the theory of distributions), 연산자 이론(operator theory), 및 연산자 대수학(operator algebra)을 포함합니다. 함수형 해석학은 양자 역학에 대해 수학적 기초 형성과 부분 미분 방정식(partial differential equation)의 뒤의 이론부터 동역학 시스템(dynamical system)과 에르고딕 이론(ergodic theory)에 이르기까지 수학과 물리학의 많은 분야에 대한 광범위한 용용을 가집니다.

• 적분(Integral) & 미분 방정식(Differential equations): 미분 방정식은 그것 내에 함수의 적어도 하나의 도함수를 포함하는 방정식입니다. 즉, 특정 양의 변화율을 나타내는 항을 포함하는 방정식입니다. 그것들은 물리학(physics), 경제학(economics), 공학(engineering), 및 생물학(biology)과 같은 분야에서 지속적으로 변화하는 다양한 현상을 수학적으로 모델링하는 데 널리 사용됩니다. 이 유형의 방정식의 두 가지 주요 세분은 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)과 부분 미분 방정식(partial differential equation)입니다. 만약 관련된 함수가 오직 도함수를 포함하는 하나의 변수를 가지면, 그것은 보통의 미분 방정식이라고 불리고, 그렇지 않으면, 만약 그것이 각각이 부분 도함수를 가지는 여러 독립 변수를 포함하면, 그것은 부분 미분 방정식 (PDE)으로 알려져 있습니다. PDE는 그때에 타원 부분 미분 방정식, 포물선 부분 미분 방정식, 및 쌍곡선 부분 미분 방정식으로 더 나뉠 수 있습니다. 부분 미분 방정식은 수학의 다른 영역, 특히 함수형 해석학(functional analysis)과 기하 해석학(geometric analysis)에서 광범위한 응용을 가집니다. 적분 방정식은, 다른 한편으로, 적분 기호 아래에 미지수 함수를 포함하는 방정식입니다. 그것들은 미분 방정식과 관련되고 물리학에 대한 응용을 가집니다.

• 변화의 계산법(calculus of variations): 변화의 계산법은 특정 적분의 특정 최솟값 또는 최댓값이 도달되는 함수를 찾으려고 시도하는 해석학의 분야입니다. 그것은 특히 오일러–라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation), 디리클레의 원리(Dirichlet's principle), 뇌터의 정리(Noether's theorem), 플래투의 문제(Plateau's problem)와 같은 고전 물리학(classical physics)의 문제와 일반적으로 최소 표면(minimal surface)의 문제와 관련됩니다. 이 분야에서 현대 연구는 현재 모스 이론(Morse theory)으로 알려진 전지구적 의미에서 변화의 계산법 이론의 개발을 포함합니다. 그것은 전통적인 미분과 적분 미적분학의 "일반화"로 고려될 수 있습니다.

• 수치 해석학(Numerical analysis): 수치 해석학은 특히 알고리듬(algorithms)의 사용법을 통해 문제를 기호적으로 해결하려고 시도하기보다는 수학적 해석학의 문제에 대한 해를 수치적으로 근사화하는 방법을 연구합니다. 그것은 문제가 해석적(analytically)으로 해결하기가 너무 어려울 수 있는 과학(science)과 공학(engineering)에서 문제에 공통적으로 적용됩니다. 특히 보통의 미분 방정식과 수치적 선형 대수학(numerical linear algebra)의 시스템은 수치적으로 표현하기 쉽고 문제는 이들 분야에서 형성되도록 줄어들어 수치 해석학에서 도구를 사용하여 해결됩니다. 현대 수치 해석학은 과학 컴퓨팅을 많이 활용하지만, 컴퓨터(computer)가 발명되기 전에 수치적 근사의 풍부한 역사가 존재합니다.

Algebra

구조의 연구는 기본 대수학(elementary algebra)에 기록된 숫자(number), 먼저 친숙한 자연수(natural number)와 정수(integer)와 그것들의 산술(arithmetic)적 연산으로 시작합니다. 이들 숫자의 더 깊은 속성은 숫자 이론(number theory)에서 연구됩니다. 방정식을 푸는 방법의 조사는 추상 대수학(abstract algebra)의 분야로 이어지며, 다른 것 중에서, 그룹(groups), 링(rings), 및 필드(field), 일상적인 숫자에 의해 소유되는 속성을 일반화하는 구조를 연구합니다. 컴퍼스와 직선자(compass and straightedge) 구성에 대한 오랜 질문이 마침내 갈루아 이론(Galois theory)에 의해 해결되었습니다. 벡터 공간(vector space)으로 일반화되는 물리적으로 중요한 벡터(vector)의 개념은 선형 대수학(linear algebra)에서 연구됩니다. 벡터 공간에서 그것들 행동에 의한 일반적인 대수적 구조의 연구는 표시 이론(representation theory)으로 알려져 있습니다. 모든 종류의 대수적 구조(algebraic structures)에 공통적인 주제는 보편적 대수학(universal algebra)에서 연구됩니다.

• 일반적인 대수적 시스템(algebraic system): 집합(set)이 주어지면, 해당 집합의 구성원을 조합하거나 관련시키는 다른 방법은 정의될 수 있습니다. 만약 이것들이 특정 규칙을 따르면, 특정 대수적 구조가 형성됩니다. 보편적 대수학(Universal algebra)은 이들 구조와 시스템의 보다 형식적인 연구입니다.

• 순서 이론(Order theory): 임의의 둘의 구별되는 실수에 대해, 하나는 나머지 다른 것보다 커야 합니다. 순서 이론은 일반적으로 이 아이디어를 집합으로 확장합니다. 그것은 격자(lattices), 부울 대수(Boolean algebras), 및 순서화된 대수적 구조(algebraic structure)와 같은 개념을 포함합니다. 역시 순서 이론 용어집(order theory glossary)과 순서 주제의 목록(list of order topics)을 참조하십시오.

• 그룹 이론(Group theory):
  • 유한 그룹(Finite group):
  • 토폴로지적 그룹(Topological group):
    • 이산 그룹(Discrete group):
    • 리 그룹(Lie group):
  • 대수적 그룹(Algebraic group):

• 링 이론(Ring theory):
  • 교환 링(Commutative ring)과 대수(algebras): 링 이론(ring theory), 추상 대수학의 한 가지에서, 교환 링은 곱셈 연산이 교환 법칙(commutative law)을 따르는 링입니다. 이것은 만약 a와 b가 fld의 임의의 원소이면, a×b = b×a임을 의미합니다. 교환 대수는 교환 링과 그것들의 아이디얼(ideals), 모듈(module), 및 대수를 연구하는 분야입니다. 그것은 대수적 기하학(algebraic geometry)과 대수적 숫자 이론 둘 다에 대해 토대입니다. 교환 링의 가장 두드러진 예제는 다항식의 링(rings of polynomials)입니다.
  • 비교환 링과 대수(Noncommutative rings and algebras):

• 필드 이론(Field theory)과 갈루아 이론(Galois theory): 필드 이론은 필드(fields)의 속성을 연구합니다. 필드는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 나눗셈이 잘-정의된(well-defined) 수학적 엔터디입니다. 다항식은 오직 덧셈, 뺄셈, 및 곱셈을 사용하여 상수와 변수가 조합된 표현식입니다.

• 모듈과 벡터 공간(Modules and vector spaces):

• 표시 이론(Representation theory):

• 필드에 걸쳐 대수(Algebra over a field): 공통적으로 단지 '대수'로 알려져 있으며, 그것들은 쌍선형(bilinear) 곱(product)을 갖는 벡터 공간입니다. 대수의 공리는 결합성을 지정하지 않기 때문에, 대수는 일반적으로 결합 대수(associative algebra)와 비-결합 대수(non-associative algebra)의 두 가지 유형으로 나뉠 수 있습니다. 많은 공통 링은 결합 대수를 형성합니다. 예를 들어 임의의 교환 링(commutative ring)은 그것의 부분링(subring)에 걸쳐 대수이고, 복소수(complex number)는 실수(reals)에 걸쳐 이-차원 교환 대수(commutative algebra)를 형성합니다. 필드에 걸쳐 표준 n-×-n 행렬(matrices)은 역시 결합 대수를 형성합니다. 비교에 의해 비-결합 대수 (역시 분배 대수로 알려져 있음)는 곱셈 연산(operation)이 결합적이 아닌 곳입니다. 예제는 교차 곱(cross product)을 갖는 유클리드 공간(Euclidean space) R3, 리 대수(Lie algebra), 및 조르당 대수(Jordan algebra)를 포함합니다. 비결합 대수의 보다 일반적인 클래스는 등급화된 대수(graded algebra), 나눗셈 대수(division algebra), 및 일반적으로 케일리–딕슨 대수(Cayley–Dickson algebras)를 포함합니다.

• 호몰로지 대수학(homological algebra):

Number theory

숫자 이론은 숫자와 그것들 사이의 연산의 속성의 연구입니다. 숫자 이론은 전통적으로 정수(integer)의 속성과 관련되어 있지만, 보다 최근에는, 그것은 정수의 연구에서 자연스럽게 발생하는 더 넓은 범주의 문제에 관심을 갖게 되었습니다.

• 산술(Arithmetic): 자연수(natural numbers), 정수(integers), 분수(fractions), 및 십진수(decimals)뿐만 아니라 그것들에 대한 전통적인 연산: 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 및 나눗셈(division)의 속성의 연구에 주로 초점을 맞추는 숫자 이론의 기본 부분입니다. 19세기까지, 산술과 숫자 이론은 동의어였지만, 그 분야의 발전과 성장은 산술에서 숫자 이론의 기본 가지를 오직 참조하는 것으로 귀결되었습니다.

• 기본 숫자 이론: 산술보다 높은 수준의 정수의 연구, 여기서 '기본'이라는 용어는 다른 수학 분야에서 기술이 사용되지 않는다는 사실을 참조합니다.

• 해석적 숫자 이론(Analytic number theory): 미적분학(Calculus)과 복소 해석학(complex analysis)은 정수를 연구하기 위한 도구로 사용됩니다.

• 대수적 숫자 이론(Algebraic number theory): 추상 대수학(abstract algebra)의 기술은 정수뿐만 아니라 대수적 숫자(algebraic numbers), 정수 계수(coefficient)를 갖는 다항식(polynomial)의 근을 연구하기 위해 사용됩니다.

• 기타 숫자 이론 하위분야: 기하 숫자 이론(Geometric number theory); 조합론적 숫자 이론(combinatorial number theory); 초월적 숫자 이론(transcendental number theory); 및 계산 숫자 이론(computational number theory). 역시 숫자 이론 주제의 목록(list of number theory topics)을 참조하십시오.

Combinatorics

조합론은 지정된 기준을 만족시키는 대상의 유한 또는 이산 모음의 연구입니다. 특히, 그것은 그들 모음에서 대상을 "세는"(열거 조합론(enumerative combinatorics))과 특정 "최적" 대상이 존재하는지 여부를 결정 (극단 조합론(extremal combinatorics))과 관련됩니다. 그것은 상호 연결된 대상을 설명하기 위해 사용되는 그래프 이론(graph theory)을 포함합니다 (이런 의미에서 그래프는 네트워크, 또는 연결된 점의 모음입니다). 역시 조합론 주제의 목록(list of combinatorics topics), 그래프 이론 주제의 목록(list of graph theory topics), 및 그래프 이론의 용어집(glossary of graph theory)을 참조하십시오. 조합론적 풍미가 문제 해결(problem solving)의 많은 부분에서 존재합니다.

Geometry

기하학은 기본 양 또는 공리(axiom)를 사용하여 공간 관계를 다룹니다. 그러한 공리는 논리적인 결론을 내리기 위해 점(point), 직선(straight line), 곡선(curve), 표면(surface), 및 고체에 대해 수학적 정의와 결합에서 사용될 수 있습니다. 역시 기하학 주제의 목록(List of geometry topics)을 참조하십시오.

• 유클리드 기하학(Euclidean geometry): 그것의 고전적 의미에서 기하학. 점(points), 직선(lines), 평면(planes), 각도, 삼각형, 합동(congruence), 닮음(similarity), 원(circle), 고체 기하학(solid geometry), 및 해석적 기하학(analytic geometry)과 같은 기본 개념을 다룹니다.

• 비-유클리드 기하학(Non-Euclidean geometry): 역사적으로 유클리드(Euclid)의 평행 공준(parallel postulate)을 대안으로 대체하여, 타원(elliptic), 구형(spherical), 및 쌍곡선(hyperbolic) 기하학을 초래합니다.

• 투영 기하학(Projective geometry): 16세기에 지라르 데자그르(Girard Desargues)에 의해 도입된, 그것은 평행 직선(parallel lines)이 교차하는 무한대에서 점(points at infinity)을 더함으로써 유클리드 기하학을 확장합니다. 이것은 교차하는 직선과 평행직 선에 대해 다른 처리를 피함으로써 고전 기하학의 많은 관점을 단순화합니다.

• 아핀 기하학(Affine geometry): 평행성(parallelism)에 상대적이고 길이의 개념과 무관한 속성의 연구.

• 볼록 기하학(Convex geometry): 폴리토프(polytopes)와 다면체(polyhedra), 및 보다 일반적으로 볼록 집합(convex set)의 그것과 같은 대상의 연구를 포함합니다. 수학적 최적화(mathematical optimization)에 중요한 응용을 가집니다. 역시 볼록성 주제의 목록(List of convexity topics)을 참조하십시오.

• 이산 기하학(Discrete geometry)과 조합론적 기하학(combinatorial geometry): 그것들 본성이나 그것들 표시에 의해 이산(discrete) 또는 조합론적(combinatorial)인 기하학적 대상과 속성의 연구. 그것은 플라톤의 고체(Platonic solids)와 테셀레이션(tessellation)의 개념과 같은 모양의 연구를 포함합니다.

• 미분 기하학(Differential geometry): 미적분과 미분-가능 함수(differentiable function)를 사용하는 기하학의 연구. 그것은 미분 기하학에서 연구된 대상이 그것들에 부과된 기하학적 구조를 가진다는 점에서 다른, 미분 토폴로지(differential topology)와 밀접하게 관련되어 있습니다. 곡률(curvature), 곡선의 미분 기하학(differential geometry of curves), 및 표면의 미분 기하학(differential geometry of surfaces)과 같은 전통적으로 다루게 되는 영역뿐만 아니라, 보다 현대적 주제는 리만 기하학(Riemannian geometry), 상징적 매니폴드(symplectic manifold]), 핀슬러 매니폴드(Finsler manifolds), 푸아송 매니폴드(Poisson manifold), 등각 기하학(conformal geometry), 접촉 기하학(contact geometry), 및 기하학적 해석학(geometric analysis)과 같은 영역을 다룹니다. 물리학과 공학, 특히 유사-리만 매니폴드(Pseudo-Riemannian manifold)를 갖는 일반 상대성(General relativity), 심플레틱 기하학(symplectic geometry)을 갖는 고전 역학(classical mechanics)과 게이지 이론(gauge theories)을 갖는 양자 필드 이론(quantum field theory)에서 중요한 연결이 있습니다. 역시 미분 기하학과 토폴로지의 용어집을 참조하십시오.

• 대수적 기하학(Algebraic geometry): 둘의 실수 변수(variables)의 다항식(polynomial)이 주어지면, 해당 함수가 영인 평면 위의 점은 곡선을 형성할 것입니다. 대수적 곡선(algebraic curve)은 이 개념을 주어진 변수의 숫자에서 필드(field)에 걸쳐 다항식으로 확장합니다. 대수적 기하학은 이들 곡선의 연구로 보일 수 있습니다. 역시 대수적 기하학 주제의 목록과 대수적 표면의 목록을 참조하십시오.
  • 실수 대수적 기하학(Real algebraic geometry): 반-대수적 집합(semialgebraic set)의 연구, 즉, 실수 계수를 갖는 대수적 부등식(inequalities)에 대한 실수 해와 그것들 사이의 매핑을 연구.
  • 복소 기하학(Complex geometry): 복소수(complex number)와 복소 평면(complex plane)으로 만들어진 기하학적 구성을 연구. 특히, 현대의 복소 기하학은 복소 매니폴드(complex manifold)와 리만 표면(Riemann surface), 복소 대수적 다양체(complex algebraic varieties), 복소 해석적 다양체(complex analytic varieties), 정칙 벡터 다발(holomorphic vector bundle), 및 일관된 뭉치(coherent sheaves)에 중점을 둡니다. 복소 해석학(complex analysis), 대수적 기하학, 및 미분 기하학의 혼합, 그것은 칼라비–야우 매니폴드(Calabi–Yau manifold)를 통해 이론적 물리학(theoretical physics)과 끈 이론(string theory)과 연결을 가집니다.
  • 산술 기하학(Arithmetic geometry): 정수의 링(ring of integers)의 스펙트럼(spectrum)에 걸쳐 유한 유형의 스킴(schemes)의 연구. 대안적으로 대수적 기하학의 기술을 숫자 이론(number theory)에서 문제로의 응용으로 정의됩니다.
  • 디오판토스 기하학(Diophantine geometry): 유리수(rational number)의 필드, 숫자 필드(number field), 유한 필드(finite field), 함수 필드(function field), 및 p-진수 필드(p-adic field)를 포함하지만, 실수(real number)를 포함하지 않는 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)에서 발생하고 대수적으로 닫히지 않은 필드(field)에서 좌표를 갖는 대수적 다양체(algebraic varieties)의 점의 연구.

• 계산 기하학(Computational geometry): 계산 기하학은 기하학적 모양과 대상을 조작하기 위한 알고리듬과 그것들의 구현을 다룹니다. 비록 그것이 새로운 연구의 영역이지만, 그것은 컴퓨터 비전(computer vision), 디지털 이미지 처리(digital image processing), 컴퓨터-지원 설계(computer-aided design), 의료 영상(medical imaging), 및 계산 대수적 기하학과 같은 순수 수학의 영역에서 많은 응용을 가집니다.

• 프랙탈 기하학(Fractal geometry): 프랙탈, 자기-닮은(self-similar) 행동을 전시하는 기하학적 대상의 연구. 망델브로 집합(Mandelbrot set)과 칸토어 집합(Cantor set)과 같은 공통적인 예제는 프랙탈 기하학 연구에 동기를 부여하고, 그 주제는 수학과 과학 둘 다 내에서 다른 많은 분야에 적용하는 것을 즐깁니다.

Topology

도형이 계속 변형되어도 변하지 않는 도형의 속성을 다룹니다. 주요 영역은 아래에 정의된 점 집합 토폴로지 (또는 일반 토폴로지(general topology)), 대수적 토폴로지(algebraic topology), 및 매니폴드(manifold)의 토폴로지입니다.

• 일반 토폴로지(General topology): 역시 점 집합 토폴로지라고 불립니다. 토폴로지적 공간(topological space)의 속성. 열린(open)과 닫힌(closed) 집합(sets), 컴팩트 공간(compact space), 연속 함수(continuous function), 수렴(convergence), 분리 공리(separation axiom), 매트릭 공간(metric space), 차원 이론(dimension theory)과 같은 개념을 포함합니다. 역시 일반 토폴로지의 용어집과 일반 토폴로지 주제의 목록을 참조하십시오.

• 대수적 토폴로지(Algebraic topology): 토폴로지적 공간과 결합된 대수적 대상의 속성과 이들 대수적 대상이 그러한 공간의 속성을 포획하는 방법. (이들 대수적 대상 중 일부는 함수자(functor)의 예제입니다.) 호몰로지 이론(homology theory), 코호몰로지 이론(cohomology theory), 호모토피 이론(homotopy theory), 및 호몰로지 대수(homological algebra)와 같은 영역을 포함합니다. 호모토피는 호모토피 그룹(homotopy group) (기본 그룹(fundamental group)을 포함)뿐만 아니라 단순 복합체(simplicial complex)와 CW 복합체(CW complexes) (역시 세포 복합체라고 불림)를 다룹니다. 역시 대수적 토폴로지 주제의 목록을 참조하십시오.

• 미분 토폴로지(Differential topology): 보통의 3-차원 유클리드 공간(Euclidean space)에서 표면(surface)의 n-차원(dimension) 일반화로 생각될 수 있는 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold) 위에 미분-가능 함수(differentiable function)를 다루는 분야.

• 기하학적 토폴로지(Geometric topology): 고차원에서와 같이 저-차원 매니폴드 (차원 2, 3, 및 4의 매니폴드)에 초점을 맞추는 경향이 있습니다. 문제 해결을 더 쉽게 만드는 대수적 도구는 어쨌든 일반적으로 일부 기하학적 구조와 그들 사이에 맵(maps)을 갖는 매니폴드(manifolds)의 연구를 포함하기 위해 정의될 수 있습니다. 연구된 주제는 삽입(embedding), 매듭 이론(knot theory), 수술 이론(surgery theory), 코모디즘(cobordisms), 방향가능성(orientability), 핸들 분해(handle decomposition), 및 기하화(geometrization)와 푸앵카레(Poincaré) 추측을 포함합니다.

Applied mathematics

Probability and statistics

• 확률 이론(Probability theory): 무작위(random) 현상의 수학적 이론. 확률 이론은 비결정적(nondeterministic) 사건 또는 측정된 양의 수학적 추상화인 률 변수(random variable)와 사건(event)을 연구합니다. 역시 Category:probability theory과 확률 주제의 목록을 참조하십시오.
  • 확률적 과정(Stochastic process): 시간 급수(time series) 또는 공간 과정(spatial processes)과 같은 확률 변수의 모음을 연구하는 확률 이론의 확장. 역시 확률적 과정 주제의 목록과 Category:Stochastic processes를 참조하십시오.
• 통계(Statistics): 실험 또는 개인의 모집단에서 수치 데이터(data)의 효과적인 사용을 만드는 과학. 통계는 그러한 데이터의 수집, 분석, 및 해석뿐만 아니라 조사(surveys)와 실험(experiments)의 설계의 관점에서 데이터의 수집 계획도 포함합니다. 역시 통계적 주제의 목록을 참조하십시오.

Computational mathematics

• 수치 해석학(Numerical analysis): 수학에서 많은 문제는 일반적으로 정확하게 해결될 수 없습니다. 수치 해석학은 문제를 지정된 오차 범위까지 대략적으로 해결하기 위한 반복 방법(iterative method)과 알고리듬(algorithms)의 연구입니다. 수치 미분(numerical differentiation), 수치 적분(numerical integration), 및 수치 방법(numerical methods)을 포함합니다; 비고, 과학 컴퓨팅(scientific computing). 역시 수치 해석학 주제의 목록을 참조하십시오.
• 컴퓨터 대수학(Computer algebra): 이 영역은 역시 기호적 계산 또는 대수적 계산이라고 불립니다. 그것은 예를 들어 임의적인 크기의 정수, 다항식 또는 유한 필드의 원소를 갖는 정확한 계산을 다룹니다. 그것은 역시 다항식 아이디얼(ideals) 또는 급수와 같은 비-숫자 수학적 대상을 갖는 계산을 포함합니다.

Mathematical physics

• 고전 역학(Classical Mechanics): 발사체에서 기계 부품, 우주선, 행성, 별, 및 은하와 같은 천체에 이르기까지 거시적인 대상의 운동을 다루고 설명합니다.
• 구조의 역학(Mechanics of structures): 구조의 역학은 광선의 굽힘, 기둥의 좌굴, 샤프트의 비틀림, 얇은 쉘의 처짐, 및 다리의 진동과 같은 기계적 하중 아래에서 구조의 행동을 조사하는 응용 역학(applied mechanics) 내의 연구의 분야입니다.

• 변형-가능 고체의 역학(Mechanics of deformable solids): 대부분의 실-세계 대상은 점-같이 보이지도 않고 완전하게 강체도 아닙니다. 더 중요하게, 대상은 힘을 받으면 모양을 바꿉니다. 이 주제는 연속 물질과 관련된 연속체 역학(continuum mechanics)과 매우 강하게 중첩됩니다. 그것은 스트레스(stress), 변형(strain), 및 탄성(elasticity)과 같은 개념을 다룹니다.

• 유체 역학(Fluid mechanics): 이러한 의미에서 유체(Fluid)는 단지 액체(liquid)가 아니라, 흐르는 기체(gas), 및 심지어 특정 상황 아래에서 고체(solid)도 포함합니다. (예를 들어, 마른 모래(sand)는 유체처럼 행동할 수 있습니다.) 그것은 점도(viscosity), 난류(turbulent flow), 및 (그것의 반대) 층류(laminar flow)와 같은 개념을 포함합니다.

• 입자 역학(Particle mechanics): 수학에서, 입자(particle)는 점-같은, 완전히 강체, 고체의 대상입니다. 입자 역학은 입자에 힘을 가한 결과를 다룹니다. 그것은 천체 역학(celestial mechanics)–천체의 운동의 연구를 포함합니다.

Other applied mathematics

• 운영 연구(Operations research), (OR): 역시 운영적 연구로 알려져 있으며, OR은 복잡한 문제에 대한 최적 또는 거의-최적의 해를 제공합니다. OR은 수학적 모델링(mathematical model), 통계적 해석학(statistical analysis), 및 수학적 최적화(mathematical optimization)를 사용합니다.

• 수학적 프로그래밍(Mathematical programming): 수학적 프로그래밍 (또는 수학적 최적화)은 종종 변수에 대한 제약 조건에 의해 지정되는 도메인에 걸쳐 실수-값 함수를 최소화 (또는 최대화)합니다. 수학적 프로그래밍은 이들 문제를 연구하고 그것들의 해에 대해 반복 방법(iterative method)과 알고리듬(algorithm)을 개발합니다.

• 계산 생물학(Computational biology)

• 계산 언어학(Computational linguistics)

Other

Philosophy of mathematics

수학의 철학은 수학의 가정, 토대, 및 함축을 연구하는 철학의 한 가지입니다. 그것은 수학의 본질과 방법을 이해하고, 사람들의 삶에서 수학의 위치를 찾는 것을 목표로 합니다.

History of mathematics and biographies of mathematicians

수학의 역사는 주제 자체와 떼려야 뗄 수 없는 관계입니다. 이것은 완벽하게 자연스럽습니다: 수학은 내부 유기적 구조를 가지고 있으며, 이전에 있어 왔던 것에서 새로운 정리를 도출합니다. 새로운 세대의 수학자들이 그들 조상의 업적을 기반으로 구축함에 따라, 주제 자체가 확장되고 새로운 계층을 성장시킵니다.

Recreational mathematics

마방진(magic square)에서 망델브로 집합(Mandelbrot set)에 이르기까지, 숫자는 전 시대에 걸쳐 수백만 명의 사람들에게 즐거움과 기쁨의 원천이었습니다. "진지한" 수학의 많은 중요한 가지는 한때 단순한 퍼즐 및/또는 게임이었던 것에 뿌리를 두고 있습니다.

External links

• The Divisions of Mathematics [from the Web Archive; Last modified 2006/01/25]