수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 교대하는 급수 테스트(alternating series test)는 절댓값에서 감소하는 항을 갖는 교대하는 급수(alternating series)는 수렴하는 급수(convergent series)임을 입증하기 위해 사용되는 방법입니다. 그 테스트는 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 사용되었고 때때로 라이프니츠의 테스트(Leibniz's test), 라이프니츠의 규칙(Leibniz's rule), 또는 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)으로 알려져 있습니다.
Formulation
다음 형식의 급수는
\(\quad\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n} a_n = a_0-a_1 + a_2 - a_3 + \cdots \!\)
여기서 모든 \(a_n\)은 양수 또는 모든 \(a_n\)은 음수이며, 교대하는 급수(alternating series)로 불립니다.
교대하는 급수 테스트(alternating series test)는 그런-다음 말합니다: 만약 \(|a_n|\)이 단조적으로(monotonically) 감소하고 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0\)이면 교대하는 급수는 수렴합니다.
게다가, L이 급수의 합을 나타내는 것으로 놓으면, 부분 합
\(\quad\displaystyle S_k = \sum_{n=0}^k (-1)^{n} a_n\!\)
은 다음의 생략된 항에 의해 경계진 오차를 갖는 L에 접근합니다.
\(\quad\left | S_k - L \right \vert \le \left | S_k - S_{k+1} \right \vert = a_{k+1}.\!\)
Proof
우리는 형식 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n\!\)의 급수가 주어진 것으로 가정하며, 여기서 모든 자연수 n에 대해 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 \) 및 \( a_n \geq a_{n+1} \)입니다. (경우 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n} a_n\!\)는 음을 취함으로써 따릅니다.)
Proof of convergence
우리는 항의 홀수개를 갖는 부분 합 \(\displaystyle S_{2m+1}=\sum_{n=1}^{2m+1} (-1)^{n-1} a_n\), 및 항의 짝수개를 갖는 \(\displaystyle S_{2m}=\sum_{n=1}^{2m} (-1)^{n-1} a_n\) 둘 다가 같은 숫자 L에 수렴함을 입증할 것입니다. 따라서 보통 부분 합 \(\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^k (-1)^{n-1} a_n\) 역시 L에 수렴합니다.
홀수 부분 합은 단조적으로 감소합니다:
\(\quad S_{2(m+1)+1}=S_{2m+1}-a_{2m+2}+a_{2m+3} \leq S_{2m+1} \)
반면에 짝수 부분 합은 단조적으로 증가합니다:
\(\quad S_{2(m+1)}=S_{2m}+a_{2m+1}-a_{2m+2} \geq S_{2m} \)
둘 다는 \(a_n\)이 n과 함께 단조적으로 감소하기 때문입니다.
게다가, \(a_n\)이 양수이므로, \( S_{2m+1}-S_{2m}=a_{2m+1} \geq 0 \)입니다. 따라서 우리는 다음의 암시적인 부등식을 형성하기 위해 이들 사실을 수집할 수 있습니다:
\(\quad a_1 - a_2 = S_2 \leq S_{2m} \leq S_{2m+1} \leq S_1 = a_1. \)
이제, \(a_1-a_2\)가 단조적으로 감소하는 수열 \(S_{2m+1}\)의 낮은 경계임을 주목하며, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)는 그런-다음 이 수열이 m이 무한대로 접근할 때 수렴함을 의미합니다. 비슷하게, 짝수 부분 합의 수열은 역시 수렴합니다.
마지막으로, 그들은 같은 숫자에 반드시 수렴하는데 왜냐하면 다음이기 때문입니다:
\(\quad\displaystyle \lim_{m\to\infty}(S_{2m+1}-S_{2m})=\lim_{m\to\infty}a_{2m+1}=0. \)
극한 L을 부르면, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)는 임의의 m에 대해 다음인 여분의 정보를 역시 말합니다:
\(\quad S_{2m} \leq L \leq S_{2m+1} \)
이것은 교대하는 급수의 부분 합이 최종 극한 위와 아래에서 "교대함"을 의미입니다. 보다 정확하게, 항의 홀수 (짝수)가 있을 때, 즉 마지막 항이 더하기 (빼기) 항이면, 부분 합은 최종 극한의 위에 (아래에) 있습니다.
이 이해는, 아래에 보이는, 부분 합의 오차 경계로 즉각적으로 이어집니다.
Proof of partial sum error bound
우리는 두 경우로 나눔으로써 \(\left| S_k - L \right| \leq a_{k+1}\!\)를 보이기를 원합니다.
k = 2m+1, 즉, 홀수일 때,
\(\quad \left| S_{2m+1} - L \right| = S_{2m+1} - L \leq S_{2m+1} - S_{2m+2} = a_{(2m+1)+1} \)
k = 2m, 즉, 짝수일 때,
\(\quad \left| S_{2m} - L \right| = L - S_{2m} \leq S_{2m+1} - S_{2m} = a_{2m+1} \)
이것은 바라는대로 입니다.
경우 둘 다는 본질적으로 이전의 증명에서 도출된 마지막 부등식에 의존합니다. 코시의 수렴 테스트(Cauchy's convergence test)를 사용하는 대안적인 증명에 대해, 교대하는 급수(Alternating series)를 참조하십시오.
일반화에 대해, 디리클레의 테스트(Dirichlet's test)를 참조하십시오.
Counterexample
테스트에서 모든 조건, 즉 영으로 수렴 및 단조성이 결론에 대해 참이 되려면 충족되어야 합니다. 예를 들어, 다음 급수를 취하십시오:
\(\quad\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\cdots\)
부호가 교대하고 항이 영으로 경향이 있습니다. 어쨌든, 단조성은 존재하지 않고 우리는 테스트를 적용할 수 없습니다. 사실 급수는 발산합니다. 실제로, 부분 합 \(S_{2n}\)에 대해, 우리는 \(\displaystyle S_{2n}=\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{2}{n-1}\)를 가지며, 이것은 조화 급수의 부분 합의 두 배이며, 발산합니다. 따라서 원래 급수는 발산합니다.
See also
References
- Konrad Knopp (1956) Infinite Sequences and Series, § 3.4, Dover Publications ISBN 0-486-60153-6
- Konrad Knopp (1990) Theory and Application of Infinite Series, § 15, Dover Publications ISBN 0-486-66165-2
- E. T. Whittaker & G. N. Watson (1963) A Course in Modern Analysis, 4th edition, §2.3, Cambridge University Press ISBN 0-521-58807-3
External links