숫자 이론(number theory)에서, 자연수는 만약 그것이 k 소수 인수를 가지면 k-거의 소수(k-almost prime)라고 불립니다. 보다 형식적으로, 숫자 n이 k-거의 소수인 것과 만약 Ω(n) = k인 것은 필요충분 조건이며, 여기서 Ω(n)은 n의 소수 인수분해(prime factorization)에서 소수의 총 개수입니다 (역시 모든 소수의 지수의 합으로 볼 수 있습니다):
\(\quad\displaystyle \Omega(n) := \sum a_i \qquad\mbox{if}\qquad n = \prod p_i^{a_i}.\)
따라서 자연수가 소수인 것과 1-거의 소수인 것은 필요충분 조건이고, 반-소수인 것과 그것이 2-거의 소수인 것은 필요충분 조건입니다. k-거의 소수의 집합은 보통 Pk에 의해 표시됩니다. 가장 작은 k-거의 소수는 \(2^k\)입니다. 처음 몇 개의 k-거의 소수는 다음과 같습니다:
| \(k\) | \(k\)-almost primes | OEIS sequence |
| 1 | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … | A000040 |
| 2 | 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, … | A001358 |
| 3 | 8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, … | A014612 |
| 4 | 16, 24, 36, 40, 54, 56, 60, … | A014613 |
| 5 | 32, 48, 72, 80, 108, 112, … | A014614 |
| 6 | 64, 96, 144, 160, 216, 224, … | A046306 |
| 7 | 128, 192, 288, 320, 432, 448, … | A046308 |
| 8 | 256, 384, 576, 640, 864, 896, … | A046310 |
| 9 | 512, 768, 1152, 1280, 1728, … | A046312 |
| 10 | 1024, 1536, 2304, 2560, … | A046314 |
| 11 | 2048, 3072, 4608, 5120, … | A069272 |
| 12 | 4096, 6144, 9216, 10240, … | A069273 |
| 13 | 8192, 12288, 18432, 20480, … | A069274 |
| 14 | 16384, 24576, 36864, 40960, … | A069275 |
| 15 | 32768, 49152, 73728, 81920, … | A069276 |
| 16 | 65536, 98304, 147456, … | A069277 |
| 17 | 131072, 196608, 294912, … | A069278 |
| 18 | 262144, 393216, 589824, … | A069279 |
| 19 | 524288, 786432, 1179648, … | A069280 |
| 20 | 1048576, 1572864, 2359296, … | A069281 |
정확히 k 개의 소수 약수 (반드시 구별되지는 않음)를 갖는 n 보다 작거나 같은 양의 정수의 숫자 \(\pi_k(n)\)은 다음과 같은 란다우(Landau)의 결과로 점근적(asymptotic)입니다:
\(\quad\displaystyle \pi_k(n) \sim \left( \frac{n}{\log n} \right) \frac{(\log\log n)^{k-1}}{(k - 1)!},\)
역시 하디-라마누젠 정리(Hardy–Ramanujan theorem)를 참조하십시오.
Properties
- \(k_1\)-거의 소수와 \(k_2\)-거의 소수의 배수는 \((k_1+k_2)\)-거의 소수입니다.
- \(k\)-거의 소수는 모든 \(n>k\)에 대해 인수로 \(n\)-거의 소수를 가질 수 없습니다.
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