예각 삼각형(acute triangle 또는 acute-angled triangle)은 셋의 예각 (90° 미만)을 갖는 삼각형(triangle)입니다. 둔각 삼각형(obtuse triangle 또는 obtuse-angled triangle)은 한 개의 둔각 (90°보다 큼)과 둘의 예각을 갖는 삼각형입니다. 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서 삼각형의 각도는 합해서 180°여야 하므로, 유클리드 삼각형은 하나보다 많은 둔각을 가질 수 없습니다.
예각과 둔각 삼각형은 비스듬한 삼각형(oblique triangles)의 둘의 다른 유형입니다 – 그것들이 90°를 가지지 않기 때문에 직각 삼각형(right triangle)이 아닌 삼각형입니다.
Properties
모든 삼각형에서, 도형중심(centroid)–중앙선(medians)의 교차점, 중앙선의 각각은 꼭짓점과 반대쪽 변의 중간점을 연결함–과 내중심(incenter)–모든 세 변에 내부적으로 접하는 원의 중심–은 삼각형의 내부에 있습니다. 어쨌든, 직교중심(orthocenter)과 둘레중심(circumcenter)은 예각 삼각형의 내부에 있지만, 그것들은 둔각 삼각형의 외부에 있습니다.
직교중심은 삼각형의 세 고도(altitudes)의 교차점으로, 각 고도는 한 변을 반대쪽 꼭짓점(vertex)에 수직(perpendicular)적으로 연결합니다. 예각 삼각형의 경우에서, 이들 세 선분 모두는 삼각형의 내부에 전적으로 놓여 있고, 따라서 그것들은 내부에서 교차합니다. 그러나 둔각 삼각형에 대해, 두 예각에서 고도는 오직 반대쪽 변의 연장선(extensions)과 교차합니다. 이들 고도는 삼각형 외부에 전적으로 떨어지며, 삼각형의 외부에서 서로와 (및 따라서 둔각 꼭짓점에서 연장된 고도와) 교차를 초래합니다.
마찬가지로, 삼각형의 둘레외심–세 꼭짓점 모두를 통과하는 원의 중심인, 세 변의 수직 이등분선(perpendicular bisectors)의 교차점–은 예각 삼각형 내부에 있지만 둔각 삼각형 외부에 있습니다.
직각 삼각형(right triangle)은 둘-사이의 경우입니다: 그것의 둘레 중심과 직교 중심 둘 다는 그것의 경계 위에 놓입니다.
임의의 삼각형에서, 임의의 두 각도 측정 A와 B의 각각 반대편 변 a와 b는 다음에 따라 관련됩니다:
\(\quad\)\(A>B \quad \text{if and only if} \quad a > b.\)
이것은 둔각 삼각형에서 가장 긴 변이 둔각 꼭짓점의 반대편 변이라는 것을 의미합니다.
예각 삼각형은 셋의 내접된 정사각형(inscribed squares)을 가지며, 각각의 한 변은 삼각형의 한 변의 일부와 일치하고 정사각형의 다른 두 꼭짓점은 삼각형의 나머지 두 변 위에 있습니다. (직각 삼각형에서, 이들 중 둘은 같은 정사각형으로 병합되므로, 오직 둘의 구별되는 내접된 정사각형이 있습니다.) 어쨌든, 둔각 삼각형은 오직 하나의 내접된 정사각형을 가지며, 그것의 변 중 하나가 삼각형의 가장 긴 변의 일부와 일치합니다.
오일러 직선이 한 변과 평행한 모든 삼각형은 예각입니다. 이 속성이 변 BC에 대해 유지되는 것과 \((\tan B)(\tan C)=3\)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.
Inequalities
Sides
만약 각도 C가 둔각이면 변 a, b, 및 c에 대해 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{c^2}{2} < a^2+b^2 < c^2,\)
여기서 왼쪽 부등식은 이등변 삼각형의 꼭대기 각도가 180°로 접근할 때 오직 상등으로 접근하고, 오른쪽 부등식은 둔각이 90°로 접근할 때 오직 상등에 접근합니다.
만약 삼각형이 예각이면 다음입니다:
\(\quad\)\(a^2+b^2 > c^2, \quad b^2+c^2 > a^2, \quad c^2+a^2 > b^2.\)
Altitude
만약 C가 가장 큰 각도이고 hc가 꼭짓점 C에서 고도이면, 예각 삼각형에 대해 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{1}{h_c^2} < \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},\)
여기서 C가 둔각이면 반대 부등식입니다.
Medians
가장 긴 변 c와 다른 변에서 중앙선(medians) \(m_a\)와 \(m_b\)와 함께,
\(\quad\)\(4c^2 +9a^2b^2 > 16m_a^2m_b^2\)
이것은 예각 삼각형에 대한 것이지만, 둔각 삼각형에 대해 역전된 부등식입니다.
가장 긴 변에서 중앙선 \(m_c\)는 각각 예각 또는 둔각 삼각형에 대해 둘레반지름보다 더 크거나 작습니다:
\(\quad\)\(m_c > R\)
이것은 예각 삼각형에 대한 것이지만, 둔각 삼각형에 대해 반대 부등식입니다.
Area
넓이 A에 대해 원의 부등식(Ono's inequality)은
\(\quad\)\(27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 A)^6,\)
모든 예각 삼각형에 대해 유지되지만 모든 둔각 삼각형에 대해 유지되지 않습니다.
Trigonometric functions
예각 삼각형에 대해 우리는, 각가 A, B, 및 C에 대해, 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C < 1,\)
이때 반대 부등식이 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
둘레반지름 R을 갖는 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle a\cos^3 A +b\cos^3 B +c\cos^3 C \leq \frac{abc}{4R^2}\)
및
\(\quad\)\(\displaystyle \cos^3A+\cos^3B+\cos^3C+\cos A\cos B\cos C\geq\frac{1}{2}.\)
예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C > 2,\)
이때 반대 부등식이 예각 삼각형에 대해 유지됩니다.
예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(\sin A \cdot \sin B +\sin B \cdot \sin C + \sin C \cdot \sin A \leq (\cos A+\cos B+\cos C)^2.\)
임의의 삼각형에 대해, 삼중 탄젠트 항등식(Triple tangent identity)은 각도의 탄젠트(tangents)의 합이 그것들의 곱과 같다고 말합니다. 예각 삼각형은 양의 탄젠트 값을 가지고 반면에 둔각은 음의 탄젠트 값을 가지기 때문에, 탄젠트의 곱에 대해 표현은 예각 삼각형에 대해 다음임을 보이고,
\(\quad\)\(\tan A+\tan B+\tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C > 0\)
반면에 부등식의 반대 방향은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
우리는 예각 삼각형에 대해 다음을 가지고,
\(\quad\)\(\tan A +\tan B+\tan C \geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)\)
둔각 삼각형에 대해 역전됩니다.
모든 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\((\tan A+\tan B+\tan C)^2 \geq (\sec A+1)^2+(\sec B+1)^2+(\sec C+1)^2.\)
내반지름(inradius) r와 둘레반지름(circumradius) R을 갖는 모든 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(a\tan A+ b\tan B+c\tan C \geq 10R-2r.\)
넓이 K를 갖는 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle (\sqrt{\cot A}+\sqrt{\cot B}+\sqrt{\cot C})^2 \leq \frac{K}{r^2}.\)
Circumradius, inradius, and exradii
예각 삼각형에서, 둘레반지름 R과 내반지름 r의 합은 가장 짧은 변 a와 b의 합의 절반보다 작습니다:
\(\quad\)\(\displaystyle R+r < \frac{a+b}{2},\)
반면에 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
중앙선(medians) \(m_a, m_b\)와 \(m_c\)이고 둘레반지름 R을 갖는 예각 삼각형에 대해, 우리는 다음을 가집니다:
\(\quad\)\(m_a^2+m_b^2+m_c^2 > 6R^2\)
반면에 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
역시 예각 삼각형은 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\)\(r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 < 8R^2,\)
여기서 \(r_a, r_b\), 및 \(r_c\)는 외원(excircle) 반지름이며, 다시 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
반둘레 s를 갖는 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(s-r >2R, \)
그리고 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
넓이 K를 갖는 예각 삼각형에 대해,
\(\quad\)\(\displaystyle ab+bc+ca \geq 2R(R+r)+\frac{8K}{\sqrt{3}}.\)
Distances involving triangle centers
예각 삼각형에 대해 둘레중심 O와 직교중심 H 사이의 거리는 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\)\(OH < R,\)
이때 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
예각 삼각형에 대해 내원 중심 I와 직교중심 H 사이의 거리는 다음을 만족시킵니다:
\(\quad\)\(IH < r\sqrt{2},\)
여기서 r은 내반지름(inradius)이며, 다시 반대 부등식은 둔각 삼각형에 대해 유지됩니다.
Inscribed square
만약 예각 삼각형의 내접된 정사각형 중 하나가 변 길이 \(x_a\)를 가지고 또 다른 것이 변 길이 \(x_b\)를 가지고 \(x_a < x_b\)이면, 다음입니다:
\(\quad\)\(\displaystyle 1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.\)
Two triangles
만약 둘의 둔각 삼각형이 변 (a, b, c)와 (p, q, r)를 가지고 c와 r이 각각 가장 긴 변이면, 다음입니다:
\(\quad\)\(ap+bq < cr.\)
Examples
Triangles with special names
내부에 꼭 맞는 가장 큰 정사각형이 셋의 다른 방법의 임의의 것으로 배치될 수 있는 유일한 비-정변 삼각형인, 칼라비 삼각형(Calabi triangle)은 둔각이고 밑변 각도 39.1320261...°이고 세 번째 각도 101.7359477...°를 갖는 이등변입니다.
셋의 60° 각도를 갖는 등변 삼각형(equilateral triangle)은 예각입니다.
임의의 삼각형에서 인접한 그것의 각도 삼등분선의 교차점에 의해 형성된 몰리 삼각형(Morley triangle)은 등변이고 따라서 예각입니다.
황금 삼각형(golden triangle)은 밑변에 대한 복제된 변의 비율이 황금 비율(golden ratio)과 같은 이등변 삼각형(isosceles triangle)입니다. 그것은 각도 36°, 72°, 및 72°를 갖는 예각이고, 비율 1:2:2에서 각도를 갖는 유일한 삼각형을 만듭니다.
정규 칠각형(heptagon)의 한 변, 더 짧은 대각선, 및 더 긴 대각선과 일치하는 변을 갖는 칠각 삼각형(heptagonal triangle)은 각도 \(\pi/7, 2\pi/7,\) 및 \(4\pi/7\)를 갖는 둔각입니다.
Triangles with integer sides
고도와 변에 대해 연속적인 정수를 갖는 유일한 삼각형은 변 (13,14,15)를 가지고 변 14에서 고도가 12인 예각입니다.
산술 진행(arithmetic progression)에서 정수 변을 갖는 가장-작은-둘레 삼각형과 구별되는 변을 갖는 가장-작은-둘레 정수-변 삼각형은 둔각입니다: 즉, 변(2, 3, 4)를 갖는 삼각형입니다.
한 각도가 또 다른 각도의 두 배이고 산술 진행(arithmetic progression)에서 정수 변을 가지는 유일한 삼각형은 예각입니다: 즉, (4,5,6) 삼각형과 그것의 배수입니다.
넓이 = 둘레를 갖는 예각 정수-변 삼각형은 없지만, 변 (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17)를 가지는 셋의 둔각 삼각형이 있습니다.
셋의 유리수 중앙선(medians)을 갖는 가장 작은 정수-변 삼각형은 변 (68, 85, 87)를 갖는 예각입니다.
헤론 삼각형(Heron triangle)은 정수 변과 정수 넓이를 가집니다. 가장 작은 둘레를 갖는 비스듬한 헤론 삼각형은 변 (6, 5, 5)를 갖는 예각입니다. 가장 작은 넓이를 공유하는 둘의 비스듬한 헤론 삼각형은 변 (6, 5, 5)를 갖는 예각 삼각형이고 변 (8, 5, 5)를 갖는 둔각 삼각형이며, 각각의 넓이는 12입니다.