수학(mathematics)에서, −1은 1의 덧셈의 역(additive inverse)입니다; 즉, 1에 더해졌을 때 그 숫자는 덧셈의 항등 원소, 0을 제공합니다. 그것은 음의 이 (−2)보다 크고 0보다 작은 음의(negative) 정수(integer)입니다.
음의 일은 양의 일과 일부 비슷하지만 약간 다른 속성을 가집니다.
Algebraic properties
숫자에 −1을 곱하는 것은 숫자에 대한 부호(sign)를 바꾸는 것과 동등합니다. 이것은 분배 법칙(distributive law)과 1이 곱셈의 항등원(multiplicative identity)이라는 공리를 사용하여 입증될 수 있습니다: 실수(real) x에 대해,
- x + (−1)⋅x = 1⋅x + (−1)⋅x = (1 + (−1))⋅x = 0⋅x = 0.
이것은 역시 방정식에서 취소(cancellation)에 의해 암시되는 임의의 실수 x 곱하기 0이 0과 같음을 호출합니다:
- 0⋅x = (0 + 0)⋅x = 0⋅x + 0⋅x.
다시 말해서,
- x + (−1)⋅x = 0,
따라서 (−1)⋅x, 또는 −x는 x의 산술 역입니다.
Square of −1
−1의 제곱(square), 즉, −1에 곱해진 −1은 1과 같습니다. 결과로써, 두 음의 실수의 곱은 양수입니다.
이 결과의 대수적 증명에 대해, 다음 방정식으로 시작합니다:
- 0 = −1⋅0 = −1⋅[1 + (−1)].
첫 번째 상등은 위의 결과에서 따릅니다. 두 번째는 −1을 1의 덧셈의 역으로 정의한 것에서 따릅니다: 그것은 정밀하게 1에 더해질 때 0을 제공하는 숫자입니다. 이제, 분배 법칙을 사용하여, 우리는 다음임을 알 수 있습니다:
- 0 = −1⋅[1 + (−1)] = −1⋅1 + (−1)⋅(−1) = −1 + (−1)⋅(−1).
두 번째 상등은 1이 곱셈의 항등원이라는 사실로부터 따릅니다. 그러나 이제 1을 이 마지막 방정식의 양쪽 변에 더하면 다음임을 의미합니다:
- (−1)⋅(−1) = 1.
위의 논증은, 정수와 실수를 일반화하는 추상 대수(abstract algebra)의 개념, 임의의 링(ring)에서 유지됩니다.
Square roots of −1
비록 −1의 실수(real) 제곱근이 없을지라도, 복소수(complex number) i는 \(i^2=-1\)를 만족시키고, 그 자체로 −1의 제곱근(square root)으로 고려될 수 있습니다. 그것의 제곱이 −1인 오직 다른 복소수는 −i인데 왜냐하면, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해, 임의의 비-영 복소수의 정확하게 둘의 제곱근이 있습니다. 쿼터니언(quaternion)의 대수에서 (여기서 기본 정리가 적용되지 않습니다), 이것은 복소 평면을 포함하며, 쿼터니언 \(x^2=-1\)은 무한하게 많은 해를 가집니다.
Exponentiation to negative integers
비-영 실수의 지수화(Exponentiation)는 음의 정수(negative integers)로 확장될 수 있습니다. 우리는 \(x^{-1} = \tfrac{1}{x}\)라는 정의를 만들며, 우리는 그것의 역수(reciprocal)를 취하는 것과 같은 효과를 가지는 숫자에 거듭제곱 −1을 올리는 것을 정의한다는 의미입니다. 이 정의는 그런-다음 음의 정수로 확장되며, 실수 a와 b에 대해 지수 법칙 \(x^a x^b = x^{(a+b)}\)을 보존합니다.
음의 정수에 대한 지수화는 \(x^{-1}\)를 x의 곱셈의 역으로 정의함으로써 링의 역-가능 원소로 확장될 수 있습니다.
함수의 위첨자로 나타나는 −1은 해당 함수의 (점별) 역수를 취하는 것을 의미하는 것은 아니라, 오히려 함수의 역함수(inverse function) (또는 보다 일반적으로 역 관계(inverse relation))를 의미합니다. 예를 들어, \(f^{-1}(x)\)는 f(x)의 역, 또는 \(\sin^{-1}(x)\)는 아크사인(arcsine) 함수의 표기법입니다. 코도메인의 부분집합이 함수 내에 지정될 때, 그것은 대신에 함수 아래에 코도메인(codomain)의 해당 부분집합의 이전-이미지(preimage)를 표시합니다.
Uses
- 소프트웨어 개발(software development)에서, −1은 정수의 공통적인 초기 값이고 역시 변수가 유용한 정보를 가지지 않음을 나타내기 위해 사용됩니다.
- 음의 일은 오일러의 항등식(Euler's identity)에 대한 관계를 품고 있는데 왜냐하면 \(e^{i\pi}=-1\)이기 때문입니다.
See also
References
- Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande, ISBN 1-84265-189-7
- "Imaginary Numbers". Math is Fun. Retrieved 15 February 2021.
- Weisstein, Eric W. "Imaginary Number". MathWorld. Retrieved 15 February 2021.