극한값의 계산에서 수열의 극한에 대한 성질에 대해 알아보았습니다. 여기서는 함수의 극한에 대한 성질을 알아보려 합니다. 함수의 극한의 기본 성질은 수열의 극한에서와 같습니다. 단지 수열이 함수의 모양으로만 바뀝니다.
함수
일 때,
이 성질은 좌극한, 우극한, 등에 대해서도 여전히 성립합니다:
극한에 대한 이런 성질을 알아야 하는 이유는 복합적으로 구성된 함수의 어떤 점에서의 극한값의 존재 여부를 잘 아는 알려진 함수로 분해해서 해결할 수 있기 때문입니다.
불확정 형식
함수의 극한에서도 그의 형태가 다음과 같으면, 쉽게 이해될 수 있습니다.
, 일 때, 또는 일 때, 또는 일 때,
반면에 다음과 같은 형태는 함수와 접근하는 점에 따라 극한의 존재 유무를 확인할 수 있기 때문에 불확정 형식이라고 말합니다.
불확정 형식의 극한을 확인하기 위해서는 형식을 변화시켜 확정형 형태로 바꾸어서 극한의 존재 유무와 그 값을 구할 수 있습니다.
특히,
함수의 극한의 대소 관계
수열의 극한의 대소 관계에서와 마찬가지로 동일한 상황에서 같은 대소 관계가 성립합니다.
함수
이고, 이면, . 이고, 이면, .
수렴하는 분수함수의 극한
어떤 분수함수의 극한이 수렴할 때, 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
- 만약
( 는 상수), 이면 입니다. - 만약
( 는 상수), 이면 입니다.
응용문제
응용예제1
응용예제2
사차함수