(고등학교) 함수의 극한의 성질

극한값의 계산에서 수열의 극한에 대한 성질에 대해 알아보았습니다. 여기서는 함수의 극한에 대한 성질을 알아보려 합니다. 함수의 극한의 기본 성질은 수열의 극한에서와 같습니다. 단지 수열이 함수의 모양으로만 바뀝니다.

함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해, $x\to a$에서의 극한 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha ,\underset{x\to a}{lim}g(x)=\beta }$일 때, 다음이 성립합니다:

• ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}kf(x)=k\cdot \underset{x\to a}{lim}f(x)=k\alpha }$
• ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)\pm \underset{x\to a}{lim}g(x)=\alpha \pm \beta }$
• ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{lim}g(x)=\alpha \beta }$
• ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)\ne 0,\beta \ne 0}$일 때, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\underset{x\to a}{lim}f(x)}{\underset{x\to a}{lim}g(x)}=\frac{\alpha }{\beta }}$

이 성질은 좌극한, 우극한, 등에 대해서도 여전히 성립합니다:

$$$x\to a+$, $x\to a–$, $x\to \mathrm{\infty }$, $x\to –\mathrm{\infty }$

극한에 대한 이런 성질을 알아야 하는 이유는 복합적으로 구성된 함수의 어떤 점에서의 극한값의 존재 여부를 잘 아는 알려진 함수로 분해해서 해결할 수 있기 때문입니다. 

불확정 형식

함수의 극한에서도 그의 형태가 다음과 같으면, 쉽게 이해될 수 있습니다.

• $\frac{k}{\mathrm{\infty }}=0$, 
• $k\ne 0$일 때, ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{k}=\mathrm{\infty }}$ 또는 $–\mathrm{\infty }$
• $k\ne 0$일 때, ${\displaystyle \frac{k}{0}=\mathrm{\infty }}$ 또는 $–\mathrm{\infty }$
• $k\ne 0$일 때, ${\displaystyle \frac{0}{k}=0}$

반면에 다음과 같은 형태는 함수와 접근하는 점에 따라 극한의 존재 유무를 확인할 수 있기 때문에 불확정 형식이라고 말합니다.

$$${\displaystyle \frac{0}{0},\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }},\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\times 0}$

불확정 형식의 극한을 확인하기 위해서는 형식을 변화시켜 확정형 형태로 바꾸어서 극한의 존재 유무와 그 값을 구할 수 있습니다.

특히, $\frac{0}{0}$, $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$의 형태는 로피탈의 규칙을 사용하여 구할 수 있습니다. 물론 이 형태가 아니더라도 대수적 변환을 통해, 주어진 두 개의 형태로 만들 수 있으면, 로피탈의 규칙을 적용할 수 있습니다. 로피탈의 규칙 기사를 참조하십시오.

함수의 극한의 대소 관계

수열의 극한의 대소 관계에서와 마찬가지로 동일한 상황에서 같은 대소 관계가 성립합니다.

함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해 $x\to a$에서 극한에 대해

• $f(x)\le g(x)$이고, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\alpha ,\underset{x\to a}{lim}g(x)=\beta }$이면, $\alpha \le \beta$.
• $f(x)\le h(x)\le g(x)$이고, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=\alpha }$이면, ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}h(x)=\alpha }$.

수렴하는 분수함수의 극한

어떤 분수함수의 극한이 수렴할 때, 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

• 만약 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha }$ ($\alpha$는 상수), ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=0}$이면 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=0}$입니다.
• 만약 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha }$ ($\alpha \ne 0$는 상수), ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)=0}$이면 ${\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)=0}$입니다.

응용문제

응용예제1

$a_n+4<3a_{n+1}<2a_n+2$, $8n-5<b_n<8n+3$ ($n=1,2,3,\cdots$)을 만족하는 수렴하는 두 수열 $\{a_n\},\{b_n\}$에 대하여 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n}$의 값을 A, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b_n+b_{n+1}}{4n}}$의 값을 B라 할 때, A+B의 값을 구하시오.

응용예제2

사차함수 $f(x)$가 ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)(x-1)}{f(x)+(x-1{)}^2}=a}$를 만족시킬 때, 다음 중 옳은 것은? (단, $a$는 상수)

$$(ㄱ) $a=0$이면 $f(1)=0$이다.

$$(ㄴ) $a\ne 0$이면 ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)}{(x-1{)}^2}}$의 값이 존재한다.

$$(ㄷ) $f(3)=0$이고 $a=2$이면 $f(4)=18$이다