(고등학교) 함수의 극한

수열의 극한은 그의 인덱스가 자연수를 취함으로써, 자연수가 증가하는 방향으로의 극한, 즉 $n\to \mathrm{\infty }$일 때의 극한만을 다룹니다. 이것은 그의 인덱스가 자연수로 기인해서 생기는 문제입니다.

반면에 함수의 극한은 인수에 대해 실수를 취함으로써, $x\to 1$와 같은 접근이 가능해집니다. 극한에서 접근은 어떤 값에 점점 다가가는 것으로 표현되므로, 1에 접근하는 것은 두 가지 방향이 있습니다. 즉, 큰 쪽 (오른쪽 또는 위 쪽)에서 접근하는 경우와 작은 쪽 (왼쪽 또는 아래쪽)에서 접근하는 방법이 있습니다. 물론 접근한다는 것은 1 자체가 되지는 않지만, 계산할 때에는 1과 같습니다 ($0.\dot{9}$을 생각해 보십시오).

이것을 표현하는 방법은 다음과 같습니다.

$$$1+0$ 또는 $1+$ 또는 $1^{+}$ : 1보다 크지만, 1에 점점 접근하는 상태

$$$1-0$ 또는 $1-$ 또는 $1^{-}$ : 1보다 작지만, 1에 점점 접근하는 상태

예를 들어, $f(x)=2x+1$일 때, $x\to 1$에서의 극한은 다음과 같이 씁니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}(2x+1)=3}$

이것은 $x=1$에서의 함숫값 $f(1)=3$과 같습니다.

물론 이때에는 하나의 값을 가지기 때문에, 수열의 극한에서와 마찬가지로, $x\to 1$에서 함수 $f(x)$는 수렴하고, 그의 극한은 3이라고 말합니다.

다른 예제로, 함수 $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$에 대해 $x\to 1$에서의 극한은 얼마일까요?

$$${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}}$

이 식은 약분을 할 수 있는 경우인데, 왜냐하면 $x\to 1$라는 것은 1은 아니고, 따라서 $(x–1)$은 영이 아니기 때문입니다. 그러므로 다음의 극한을 가집니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=2}$

물론 1 이외의 점에서는 분모가 영이 되지 않기 때문에, 함숫값 구하듯이 대입해서 구할 수 있기 때문에 함숫값 자체가 극한값입니다.

반면에 다른 예제로, 함수 $f(x)=\frac{1}{x-1}$에 대해 $x\to 1$에서의 극한은 $\frac{1}{0}$ 모양이므로 값을 정할 수 없고. 따라서 발산합니다.

좌극한과 우극한

간혹은 극한의 방향을 정해야 구할 수 있는 경우가 있습니다. 

예를 들어 다음 함수 $f(x)=\frac{x^2-1}{|x-1|}$에 대해 $x\to 1$에서의 극한은 절댓값을 놔두고는 계산이 불가능하므로, 절댓값을 없애기 위해서 1보다 큰 경우와 1보다 작은 경우로 나누어서 생각해야 합니다.

그래서 먼저 1보다 큰 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 1+0}{lim}\frac{x^2-1}{|x-1|}=\underset{x\to 1+0}{lim}\frac{x^2-1}{(x-1)}}$

절댓값 안의 값이 양수이므로 그냥 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$${\displaystyle \underset{x\to 1+0}{lim}\frac{x^2-1}{(x-1)}=\underset{x\to 1+0}{lim}(x+1)=2+0=2}$

이것은 1보다 오른쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 우극한이라고 부릅니다.

반면에, 1보다 작은 쪽에서 접근할 때의 극한은 다음과 같이 나타냅니다:

$$${\displaystyle \underset{x\to 1-0}{lim}\frac{x^2-1}{|x-1|}=\underset{x\to 1-0}{lim}\frac{x^2-1}{-(x-1)}}$

절댓값 안의 값이 음수이므로 부호를 반대로 해서 절댓값을 없앨 수 있습니다. 그런 다음 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$${\displaystyle \underset{x\to 1-0}{lim}\frac{x^2-1}{-(x-1)}=\underset{x\to 1-0}{lim}-(x+1)=-2+0=-2}$

이것은 1보다 왼쪽에서 접근할 때의 극한을 구한 것이므로 좌극한이라고 부릅니다.

이런 경우에 1에서의 극한은 어떻게 구할까요? 이전 함수에서와 다르게 ''어떤 점에서의 극한을 구할 때 그의 좌극한과 우극한으로 따로 구해야 할 경우에는 좌극한과 우극한이 같을 때에만 극한값이 존재한다''고 말합니다.

따라서 이 경우에 1에서의 극한은 존재하지 않습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$인 원이 $y$-축과 만나는 점을 $\mathrm{P}$, 원 $(x-1{)}^2+y^2=1$과 만나는 점을 $\mathrm{Q}$라 하고 직선 $\mathrm{PQ}$와 $x$축이 만나는 점을 $\mathrm{R}$이라고 하자. 이때, $r$이 0에 한없이 가까워질 때, 점 $\mathrm{R}$이 한없이 가까워지는 점의 좌표를 구하여라. (단 두 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$의 $y$-좌표는 양수이다.)

응용예제2

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 원 $O_1$과 반지름의 길이가 $r$인 원 $O_2$가 점 $\mathrm{B}$에서 내접하고 있다. 점 $\mathrm{A}$에서 원 $O_2$에 그은 접선의 접점을 $\mathrm{P}$, 이 접선이 원 $O_1$과 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 할 떼, ${\displaystyle \underset{r\to 0+}{lim}\frac{\overline{\mathrm{PQ}}}{r}}$의 값을 구하시오. 

응용예제3

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=2,\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{\pi }{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 중심이 $\mathrm{A}$, 반지름의 길이가 1인 원이 두 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B},\mathrm{A}\mathrm{C}$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{D},\mathrm{E}$라 하자.

호 $\mathrm{D}\mathrm{E}$의 삼등분점 중 점 $\mathrm{D}$에 가까운 점을 $\mathrm{F}$라 하고, 직선 $\mathrm{A}\mathrm{F}$가 선분 $\mathrm{A}\mathrm{F}$가 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$와 만나는 점을 $\mathrm{G}$라 하자.

$\mathrm{\angle }\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{G}=\theta$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{G}$의 내부와 부채꼴 $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{F}$의 외부의 공통부분의 넓이를 $f(\theta )$, 부채꼴 $\mathrm{A}\mathrm{F}\mathrm{E}$의 넓이를 $g(\theta )$라 하자. ${\displaystyle 40\times \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{f(\theta )}{g(\theta )}}$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta <\frac{\pi }{6})$ [3점] [2021학년도 수능 가형 24번]

응용예제4

상수항과 계수가 모두 정수인 두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(2)$의 최댓값은? [4점] [2020학년도 수능 나형 14번]

$$(가) ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)g(x)}{x^3}=2}$

$$(나) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)g(x)}{x^2}=-4}$

응용예제5

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}=1$, $\mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{\pi }{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 $\mathrm{\angle }\mathrm{C}$를 이등분하는 직선과 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 교점을 $\mathrm{D}$, 중심이 $\mathrm{A}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{D}}$인 원과 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$의 교점을 $\mathrm{E}$라 하자. $\mathrm{\angle }\mathrm{A}=\theta$일 때, 부채꼴 $\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{E}$의 넓이를 $S(\theta )$, 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{E}$의 넓이를 $T(\theta )$라 하자. ${\displaystyle \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{\{S(\theta ){\}}^2}{T(\theta )}}$의 값은? [4점] [2019학년도 수능 가형 18번]

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 1인 마름모 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}$가 있다. 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{E}$, 점 $\mathrm{E}$에서 선분 $\mathrm{A}\mathrm{C}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$, 선분 $\mathrm{E}\mathrm{F}$와 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$의 교점을 $\mathrm{G}$라 하자. $\mathrm{\angle }\mathrm{D}\mathrm{A}\mathrm{B}=\theta$일 때, 삼각형 $\mathrm{C}\mathrm{F}\mathrm{G}$의 넓이를 $S(\theta )$라 하자.

${\displaystyle \underset{\theta \to 0+}{lim}\frac{S(\theta )}{{\theta }^5}}$의 값은? (단, $0<\theta <\frac{\pi }{2}$) [4점] [2018학년도 수능 가형 17번]

응용예제7

최고차항의 계수가 1이고 $f(1)=0$인 삼차함수 $f(x)$가

$$${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{f(x)}{(x-2){\{f^{\prime }(x)\}}^2}=\frac{1}{4}}$

을 만족시킬 때, $f(x)$의 값은? [4점] [2018학년도 수능 나형 18번]

응용예제8

네 실수 $\alpha ,\beta ,\gamma (\alpha <\beta <\gamma ),m$에 대하여 삼차함수 $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$와 일차함수 $g(x)=x-m$이 다음 조건을 만족시킨다.

$$(ㄱ) 다항식 $f(x)$를 다항식 $g(x)$로 나누었을 때 나누어떨어지지 않는다.

$$(ㄴ) ${\displaystyle \underset{x\to k}{lim}\frac{f(x)}{f(x-2)g(x)}}$의 값이 존재하지 않는 실수 $k$의 값은 1, 3뿐이다.

이때, $f(2)+g(2)$의 값은?

응용예제9

그림과 같이 곡선 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 위의 원점이 아닌 점 $\mathrm{P}$에 대하여 원점을 지나고 $y$축 위의 점 $\mathrm{Q}$를 중심으로 하는 원 ${\mathrm{O}}_1$이 있다. 원 ${\mathrm{O}}_1$의 넓이를 $S$라고 할 때, ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\{f(x){\}}^2}{S}}$의 값을 구하고 그 풀이 과정을 논술하시오.