타원(ellipse)은 두 초점(focal points)으로부터 거리의 합이 곡선의 모든 점에 대해 일정한, 두 초점을 둘러싼 평면 안의 곡선(curve in a plane)입니다. 비슷하게, 같은 위치에 두 개의 초점을 갖는 타원의 특수 형태가 원의 일반화입니다. 타원의 모양은 이심률(eccentricity)에 의해 표현되며, 타원의 이심률은 1 미만의 임의의 양수이고, 원은 이심률이 0입니다.
타원은 원뿔 단면(conic section)의 닫힌(closed) 유형입니다. 타원은 원뿔 단면의 다른 두 가지 유형과 많은 유사점을 가지고 있지만, 포물선(parabola)과 쌍곡선(hyperbola), 두 가지는 열린 곡선(open curve)이고 경계가 지어지지 않습니다(unbounded).
타원의 두 초점은 임의의 직선 위에 놓일 수 있지만, 포물선과 마찬가지로 식을 간편한 것만 다루기 위해, 축이 \(x\)-축, \(y\)-축과 나란히 제한적인 경우를 다룹니다.
게다가, 타원을 지나는 직선과 타원이 만나는 두 점 사이의 길이에 대해, 가장 긴 것은 장축이라 불리고, 반면에, 가장 짧은 길이는 단축이라 불립니다. 이때, 장축과 만나는 타원 위의 두 점은 꼭짓점(vortex)이라고 하고, 단축과 만나는 두 점은 공동-꼭짓점(co-vertox)라고 합니다.
이때, 장축과 단축이 만나는 점을 중심이라고 합니다.
타원의 두 초점이 놓이는 직선은 주요 축(major axis)이라고 부르고, 반면에 가장 짧은 길이, 단축을 포함하는 직선은 보조축(minor axis)라고 부르고, 어떤 경우에서, 주축이 장축의 의미를 가질 수 있고, 보조축이 단축의 의미를 가질 수 있습니다.
장축, 단축이, 각각, 주요 축, 보조 축을 대체하는 용어로 생각해도 상관없지만, 수학에서 축은 직선이고, 일상생활에서 축은 선분이라도 상관이 없습니다.
따라서, 고등학교 교과서에서 장축은 문맥에 따라 직선과 선분의 두 가지 중 하나의 의미를 가질 수 있으므로, 주의가 필요합니다.
타원의 방정식
두 초점 \(\mathrm{F,F'}\)의 좌표가 각각 \((c,0),(-c,0)\)이고, 두 초점 \(\mathrm{F,F'}\)으로부터 거리의 합이 \(2a\;(a>c>0)\)인 타원의 방정식은 다음의 과정으로 구해집니다.
먼저, 타원 위의 임의의 점을 \(\mathrm {P}(x,y)\)라고 하면, 타원의 정의에 따라,
\(\quad\)\(\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF'}}=2a\)
이고, 각 거리를 쓰면,
\(\quad\)\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\)
\(\quad\)\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
이때, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,
\(\quad\)\(cx+a^2=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
다시 한번, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,
\(\quad\)\(\left(a^2-c^2\right)x^2+a^2y^2=a^2\left(a^2-c^2\right)\)
여기서, \(a^2-c^2=b^2\;(b>0)\)으로 놓고, 양쪽 변을 \(a^2b^2\)으로 나누면,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;(a^2=b^2+c^2)\)
이 방정식을 타원의 표준형이라고 합니다.
여기서, 거리의 합이 \(2a\)가 되는 이유는 \(x\)-축과 만나는 두 점을 \(\mathrm A_1(a,0)\), \(\mathrm A_2(-a,0)\)라고 두면,
\(\quad\)\(\begin{align}
\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF'}} & = \overline{\mathrm{A_1F}}+\overline{\mathrm{A_1F'}} \\
& = \overline{\mathrm{A_1F}}+\overline{\mathrm{A_1F}} + \overline{\mathrm{FF'}} \\
& = \overline{\mathrm{A_1F}}+\overline{\mathrm{A_2F'}} + \overline{\mathrm{FF'}} \\
& = 2a \\
\end{align}\)
한편, 타원과 \(x\)-축이 만나는 두 점 사이의 길이가 장축의 길이, \(2a\)이며, 그 점의 좌표는 타원의 방정식으로부터, \(y=0\)을 대입해서, \(x=\pm a\)로 구할 수 있습니다. 또한, 타원과 \(y\)-축이 만나는 두 점 사이의 길이가 단축의 길이, \(2b\)이며, 그 점의 좌표는 타원의 방정식으로부터, \(x=0\)을 대입해서, \(y=\pm b\)로 구할 수 있습니다.
게다가, 타원 위의 점 \(\mathrm P\)를 \(y\)-축 위의 점으로 놓으면, 두 초점과 원점, 그리고 \(\mathrm{P}\)는 두 개의 합동 직각삼각형을 만드는데, 빗변의 길이가 \(a\)이고, 나머지 두 변의 길이가 \(b,c\)입니다.
이로써, 타원의 방정식에서 \(a,b,c\) 사이의 관계가 티파고라스 정리를 만족함을 기하학적으로 확인할 수 있습니다.
타원의 방정식의 특징을 간략히 살펴보면,
- 두 초점이 놓이는 직선이 장축이 되고,
- 장축을 나타내는 문자의 길이(위의 빗변)가 가장 길고,
- 세 문자는 피타고라스 정리를 만족함을 알 수 있습니다.
장축과 단축이 바뀐 타원의 방정식
만약, 위의 경우와 달리, 두 초점이 \(y\)-축, 즉, \(\mathrm{F}(0,c)\), \(\mathrm{F'}(0,-c)\)에 놓이면, 이 경우에서, 장축의 길이를 \(2a\)로 두지 않고, \(2b\)로 두는데, 왜냐하면, 타원의 방정식을 하나로 만들기 위함입니다.
이제, 타원 위의 점 \(\mathrm{P}(x,y)\)에 대해, 타원에 정의에 따라,
\(\quad\)\(\overline{\mathrm{PF}}+\overline{\mathrm{PF'}}=2b\)
이 식을 위와 같은 방법으로 정리하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;(b^2=a^2+c^2)\)
장축의 위치에 따라, 해당하는 문자가 가장 길기 때문에, 피타고라스의 정리에서, 빗변을 나타내는 문자가 달라짐을 주목할 필요가 있습니다.
응용문제
응용문제1
그림과 같이 초점이 \(\mathrm{F(c,0)},\;\mathrm{F'(c,0)}\)인 타원 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)이 있습니다. 점 \(\mathrm{F'}\)을 지나는 기울기가 양수인 직선이 타원과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{A,B}\)라 놓고, 점 \(\mathrm{F}\)에서 이 직선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 놓습니다. \(\overline{\mathrm{AF'}}:\overline{\mathrm{BF'}}=1:3\), \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AF}}\), \(\overline{\mathrm{HF'}}=10\)일 때, \(\overline{\mathrm{AF'}}\times \overline{\mathrm{BF'}}\)의 값은?
