집합(set)은 명확한 기준에 의하여 주어진 서로 다른 대상들이 모임을 말합니다. 이때 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소(element)라고 합니다.
어떤 대상이 집합의 원소인지는 애매하지 않고 명확해야 하며, 속하거나 그렇지 않거나 반드시 하나여야만 합니다. 또한, 집합의 원소들은 서로 다르며, 같은 원소가 여러 개 있을 수는 없습니다. 집합의 원소들 사이에는 대소 관계나 선후 관계와 같은, 순서에 따른 구분이 없으며, 덧셈이나 곱셈과 같은 연산이 주어지지 않습니다.
대개 집합은 대문자 \(A,B,C,\cdots\)로 표기하며, 원소는 소문자 \(a,b,c,\cdots\)로 표기합니다.
또한, \(x\)가 집합 \(A\)의 원소라는 것은 \(x\)가 \(A\)에 속한다고도 하며, 기호로는 \(x \in A\)로도 나타냅니다. 반면에, 기호 \(\notin\)는 \(x \notin A\)과 같은 형식으로 쓰이며, \(x\)가 \(A\)의 원소가 아니다라는 것을 의미합니다.
집합의 표현
집합을 표현하는 방법에는 집합에 속하는 원소를 직접 나열하는 원소나열법, 집합에 속하는 원소들이 만족하여야 하는 조건을 제시하는 조건제시법, 문자를 쓰는 대신 도형을 그려 나타내는 오일러 다이어그램이 있습니다.
원소 나열법
원소 나열법은 집합의 원소를 나열하여 집합을 표현하는 방법으로써, \(\{\;\}\) 안에 원소를 쉼표 ','로 구별하여 나열합니다.
만약 많은 원소를 나열해야 하거나 무한개의 원소를 표현해야 하는 경우에는, 그 중의 일부를 나열하고 남은 원소는 줄임표 '\(\cdots\)'를 사용하여 유추할 수 있게끔 합니다.
- \(\{1, 2, 3, \cdots, 100\}\)은 1부터 100까지의 자연수의 집합입니다.
- \(\{2, 4, 6, 8, \cdots\}\)은 양의 짝수의 집합입니다.
원소나열법의 문제점은 집합의 원소들 사이에 규칙이 없을 경우에 표현이 불가능하다는 점입니다. 또한, 실수처럼 두 원소 사이에 항상 무한개의 원소를 갖는 집합들도 표현이 불가능합니다.
조건 제시법
조건 제시법은 집합의 원소인지를 판단하는 조건을 제시하여 집합을 표현하는 방법입니다. 중괄호 '\(\{\;\}\)' 내부를 '|'이나 ':'을 사용해서 두 구역으로 나눈 뒤, 왼쪽에는 집합의 원소를 나타내는 식, 오른쪽에는 원소가 만족시킬 조건을 적습니다.
- \(\{n|n\)은 자연수, \(1 \leq n \leq 5\}\)는 1부터 5까지 자연수의 집합입니다.
- \(\{2n|n\)은 정수\(\}\)는 짝수의 집합입니다.
오일러 다이어그램
오일러 다이어그램은 집합을 원을 그려 표현하는 방법입니다. 원의 안쪽은 그 원이 나타내는 집합에 속하는 부분, 바깥쪽은 그 집합에 속하지 않는 부분을 의미합니다. 두 원이 겹치는 부분은 두 집합에 공통으로 속하는 부분을 나타냅니다. 원이 서로 겹치지 않는 두 집합은 공통 원소가 없는 집합, 즉 서로소 집합을 의미합니다.
벤 다이어그램은 더 강한 조건을 만족시키는 오일러 다이어그램입니다. 즉, \(n\)개의 원으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 \(2^n\)개의 영역으로 나뉘어야 합니다. 예를 들어, 세 집합으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 8개의 영역으로 나뉩니다.
벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 동의어로 쓰이기도 합니다.
원소의 개수
집합은 원소가 유한개인 유한집합, 무한개인 무한집합, 원소가 하나도 없는 공집합이 있습니다. 공집합은 \(\{\;\}\) 또는 \(\emptyset\)로 나타냅니다.
어떤 유한집한 \(A\)의 원소의 개수를 표현할 때에는 \(n(A)\)로 나타냅니다.
응용예제
응용예제1
집합 \(P\)가 다음 조건을 모두 만족시킨다.
\(\quad\)(가) \( 1 \in P\)
\(\quad\)(나) \(p \in P\)이면 \(\displaystyle \frac{1}{1+p} \in P\)
이때, 옳은 것을 있는 데로 모두 고른 것은?
\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \frac{2}{3} \in P,\;\frac{3}{5} \in P\)
\(\quad\)(ㄴ) \(\displaystyle \frac{n}{m} \in P\)이면 \(\displaystyle \frac{n}{m+n} \in P\) (단, \(m,n\)은 자연수이다.)
\(\quad\)(ㄷ) \(P \cap Z = \{1\}\) (단, \(Z\)는 정수 전체의 집합이다.)
