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수학

(고등학교) 조립제법

by 다움위키 2023. 10. 27.

이 기사의 내용을 넘어서는 2차 이상의 조립제법 등에 대한 자세한 내용에 대해 (번역) Synthetic division를 참조하십시오

 

나머지정리인수정리는 나머지에 초점을 맞추지만, 앞의 것은 나머지를 구하기 위한 것이고 뒤의 것은 인수 (또는 근)을 구하는 것이 목적입니다.

만약 몫을 구하고 싶을 때에는 나머지정리를 이용해서 나머지를 구한 후에 다항식의 나눗셈 또는 항등식의 성질을 이용해서 몫을 구할 수 있습니다.

그러나, 두 과정은 모두 실수를 유발하거나, 계산이 쉽지 않을 수 있습니다.

다른 방법으로 소개되는 것이 조립제법입니다. 직접 나눗셈을 하는 과정에서 문자를 제외하고 계수만의 계산으로 가능하도록 도와주는 방법입니다. 나누는 식이 2차식일 때에도 가능하지만, 표를 작성하는 과정이 조금 힘들기 때문에, 여기서는 나누는 식이 일차식일 때에만 설명하도록 하겠습니다.

예를 들어, \(2x^3+x^2-5x-7\)을 \(x-2\)으로 나누는 과정을 조립제법으로 하면 다음과 같습니다.

\(\quad\)\(\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} 2 \\ \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}
        2 &   3 &  -5 &  -7 \\
          &   4 &  14 &  18 \\
        \hline
        2 &   7 &   9 &  11
    \end{array}
\end{array}\)

이 결과는 마지막에 있는 숫자 11이 나머지입니다. 그 앞으로 있는 숫자들이 몫을 구성하며, 끝이 상수항이며, 앞으로 전진하면서 차수가 1씩 증가합니다. 즉, 몫은 \(2x^2+7x+9\)이 됩니다.

조립제법의 순서는 다음과 같습니다.

  1. 나누는 식을 x − 2 = 0을 만족하는 숫자 2를 왼쪽에 적어 줍니다.
  2. 같은 줄의 우측에는 나누어지는 삼차식의 계수를 높은 차수에서 낮은 차수로 적어줍니다. 계수가 0이라도 반드시 적어야 합니다.
  3. 나누어지는 식의 최고차인 2 차의 계수 1 은 아래로 내려서 그냥 적어줍니다.
  4. 3 차의 계수와 왼쪽의 숫자를 곱한 숫자 4 2 차의 계수 3 아래에 적어줍니다.
  5. 2 차의 세로로 적힌 두 숫자를 합한 7을 아래로 적어줍니다.
  6. 이 숫자와 왼쪽의 숫자를 곱하여 14를 1 차 계수 − 5 아래에 적어줍니다.
  7. 1 차의 세로로 적힌 두 숫자를 합한 9를 아래로 적어줍니다.
  8. 이 숫자와 왼쪽의 숫자를 곱하여 18을 상수 계수 − 7 아래에 적어줍니다.
  9. 상수의 세로로 적힌 두 숫자를 합한 11을 아래로 적어줍니다.

같은 인수의 일차식

여기서, 한 가지 의문이 생깁니다.

왼쪽에 적어주는 숫자가 나누는 (일차식 = 0)을 만족하는 숫자를 적게 되는데, \(x-2=2(x-2)=k(x-2)=\cdots\;\;(k\neq 0)\)은 똑같이 2라는 값을 왼쪽에 적게 됩니다. 이런 경우에 몫과 나머지는 이전의 조립제법과 같을까요? 다를까요?

위의 조립제법 예제를 나눗셈의 식으로 정리해서 적어봅니다. 원식을 보지 않고 조립제법의 결과를 보고 식을 적을 때에는 반드시 나누는 식의 일차의 계수가 1이어야 합니다. 나누는 식이, \(x-2=2(x-2)=k(x-2)\)처럼, 다르더라도 전부 \(x-2\)로 적어야 합니다.

\(\quad\)\(2x^3+3x^2-5x-7 = (x-2)(2x^2+7x+9)+11\)

만약, 나누어지는 식이 \(2(x-2)=2x-4\)이라면 위식을 아래와 같이 변경해서 생각을 할 수 있습니다.

\(\quad\)\(2x^3+3x^2-5x-7 =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (x-2)(2x^2+7x+9)+11\)

나누는 식의 일차항의 계수가 2로 바뀌어야 하기 때문에 곱셈의 역원인 \(\frac{1}{2}\)과 함께 나누는 식에 곱해 줍니다. 이런 후에 2는 나누는 식에 곱해주고,\(\frac{1}{2}\)은 몫에 곱해줍니다. 그래야 나눗셈의 정의에 맞게 식이 만들어지기 때문입니다.

\(\quad\)\(\displaystyle 2x^3+3x^2-5x-7 = (2x-4)\left(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{9}{2}\right)+11\)

이 결과는, \(2x-4\)로 나누었을 때, 몫은 \(\left(x^2+\frac{7}{2}x+\frac{9}{2}\right)\)이며 나머지는 11임을 알려줍니다.

이런 경우를 확장해서 일반화시키면 다음과 같습니다.

  • 나누는 식의 계수를 \(k\)배 해주면, 그것의 역수인 \(\frac{1}{k}\)이 몫의 계수에 곱해지게 됩니다.
  • 그러나, 나머지는 변하지 않습니다.

기본예제

기본예제1

\(2x^3-3x+4\)를 \(x+2\)로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

해설) 몫과 나머지를 구할 것이기 때문에 조립제법을 이용하는 것이 편합니다.

\(\quad\)\(\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} -2 \\ \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}
        2 &   0 &  -3 &   4 \\
          &  -4 &   8 & -10 \\
        \hline
        2 &  -4 &   5 &  -6
    \end{array}
\end{array}\)

그러므로, 몫: \(2x^2-4x+5\) 나머지: \(-6\)입니다.

기본예제2

\(3x^3-2x^2+6x-1\)를 \(3x-2\)로 나눈 몫과 나머지를 구하여라.

해설) 몫과 나머지를 구할 것이기 때문에 조립제법을 이용하는 것이 편합니다.

\(\quad\)\( \begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}
        3 & -2 &  6 &  -1 \\
          &  2 &  0 &   4 \\
        \hline
        3 &  0 &  6 &   3
    \end{array}
\end{array}\)

그러므로, 몫: \(3x^2+6\) 나머지: 3입니다라고 대답해서는 안됩니다. 이 결과는 \(x-\frac{2}{3}\)로 나누었을 때의 몫과 나머지이기 때문입니다.

자 그럼 이제 정답을 구해 볼까요? 위 조립제법의 결과는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\(\quad\)\(\begin{array}{rl}
 3x^3-2x^2+6x-1 & \displaystyle =\left(x-\frac{2}{3}\right)(3x^2+6)+3 \\
 & \displaystyle =\frac{1}{3}\cdot 3 \cdot \left(x-\frac{2}{3}\right)(3x^2+6)+3 \\
 & =(3x-2)(x^2+2)+3
\end{array}\)

그러므로, \(3x-2\)로 나누었을 때, 몫은 \(x^2+2\)이고 나머지는 3입니다.

응용예제

응용예제1

함수 \(f(x)=x^4-8x^3+25x^2-42x+32\)에 대하여 \(f(1.99)\)의 값을 구할 때, 소수 둘째 자리의 숫자는?