정적분에서, 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,b]\)에서 연속일 때,
\(\quad\)\(\displaystyle \Delta x =\frac{b-a}{x},\; x_k =a+k\Delta x\)
라 하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x = \int_a^b f(x)dx\)
으로 정의했습니다. 이 식을 더 대입해서, 하나의 수식으로 만들면,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(a+\frac{b-a}{n}\cdot k\right)\cdot \frac{b-a}{n} = \int_a^b f(x)dx\)
이때, 구간이 [\(0, p\)]로 바뀌면, 식은 다음처럼 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{pk}{n}\right)\cdot \frac{p}{n} = \int_0^p f(x)dx\)
또한, 구간이 [\(0, 1\)]로 바뀌면, 식은 다음처럼 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)\cdot \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x)dx\)
구간이 또 다른 것을 선택하면, 또 다른 식이 만들어지기 때문에, 이런 형태로 기억하는 것은 바람직하지 않을 수 있습니다.
구분구적법 형태를 정적분으로 변환
구분구적법 형태, 즉, 무한 개의 합(무한급수)을 정적분으로 바꾸는 방법은 정적분의 정의를 활용해서 접근하는 방법이 있지만, 구간, 또는, 구간을 나누는 개수, 등에 따라 조금 다른 형태가 될 수도 있기 때문에, 좀 더 간략한 개념적 접근이 필요합니다.
예를 들어, 다음 문제를 정적분으로 해결해 보고자 하는데, 함수는 공식을 통해서 적분할 것이기 때문에 크게 중요하지 않습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(1+\frac{2k}{n}\right) \frac{3}{n}\)
이런 형태가 가장 복잡한 형태로 볼 수 있고, 급수의 변수를 적분변수로 어떻게 바꾸는지 여부에 따라 많아야 3가지 정도로 변환할 수 있습니다. 물론, 선형 변환으로 무수히 많은 형태의 정적분을 만들 수 있습니다.
한편, 정적분에서는 밑변에 해당하는 \(dx\), 높이에 해당하는 함숫값 \(f(\cdot)\), 그리고 아래끝, 위끝이 결정되어야 합니다. 이때, 함수의 인수에 따라, \(dx\)의 실수배, 아래끝, 위끝이 바뀔 수 있습니다.
첫 번째, 가장 간단한 구조
- \(\displaystyle \frac{k}{n}=x\cdots(1)\)로 두면, \(\displaystyle 1+\frac{2k}{n}=1+2x\)
- \(\displaystyle \frac{1}{n}=dx\)이고, \(\displaystyle \frac{3}{n}=3dx\): 무한소 구간을 표현하는 것이므로, 양쪽 변을 각각, \(k,\;x\)로 미분하는 것으로 생각될 수 있는데, 간단히 \(k\)의 계수가 무한소로 바뀌는 것으로 생각해도 좋습니다.
- \(k=1\)을 식 (1)에 대입하고, \(n\to \infty\)를 한 결과, \(x=0\)이 아래끝인데, 즉, 무한급수의 시작값이 적분의 아래끝으로 바뀝니다. 무한급수의 시작값이 항상 숫자로 주어지지는 않는데, \(k=n\)을 시작값으로 두고, 끝값을 \(k=2n\)으로 두는 경우도 있습니다.
- \(k=n\)을 식 (1)에 대입하고, \(n\to \infty\)를 한 결과, \(x=1\)이 위끝인데, 즉, 무한급수의 끝값이 적분의 위끝으로 바뀝니다. 직전에서 언급한 것처럼, 무한급수의 끝값이 항상 \(k=n\)으로 주어지지는 않습니다.
- \(\displaystyle \int_0^1 f(1+2x)(3dx)\): 이 결과에서 실수배를 함수 앞에, 또는 적분의 앞에 둘 수 있습니다.
두 번째, 실수배를 포함한 구조
- \(\displaystyle \frac{2k}{n}=x\cdots(2)\)로 두면, \(\displaystyle 1+\frac{2k}{n}=1+x\)
- \(\displaystyle \frac{2}{n}=dx\)이고, \(\displaystyle \frac{3}{n}=\frac{3}{2}dx\): 곱해지는 숫자는 \(\displaystyle \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{2}\)와 같이 분모(2)에 이전 분자(2)를 쓰고, 문제에서 주어진 숫자를 분자에 쓰는데, 곱셈의 역수 개념을 이용한 것입니다.
- \(k=1\)을 식 (2)에 대입해서, \(x=0\)
- \(k=n\)을 식 (2)에 대입하고, \(x=2\)
- \(\displaystyle \int_0^2 f(1+x)\left(\frac{3}{2}dx\right)\)
세 번째, 함수의 인수 전체를 포함한 구조
- \(\displaystyle 1+\frac{2k}{n}=x\cdots(3)\)로 두면, \(\displaystyle 1+\frac{2k}{n}=x\)
- \(\displaystyle \frac{2}{n}=dx\)이고, \(\displaystyle \frac{3}{n}=\frac{3}{2}dx\)
- \(k=1\)을 식 (3)에 대입해서, \(x=1\)
- \(k=n\)을 식 (3)에 대입하고, \(x=3\)
- \(\displaystyle \int_1^3 f(x)\left(\frac{3}{2}dx\right)\)
이런 형태도 일반적인 문자를 사용해서, 공식화할 수 있지만, 큰 의미는 없습니다. 비록 문자일지라도, 위와 마찬가지의 개념으로 식을 여러 가지 형태로 만들 수 있습니다.
무한 합을 정적분 형태로 나타내기
무한 합이 시그마 기호로 표현되어 있으면, 바로 정적분으로 바꿀 수 있지만, 합이 풀어헤쳐진 형태로 주어지면, 시그마 기호를 이용해서 합을 표현하는 과정이 필요합니다.
예를 들어, 다음 무한급수를 구하면,
\(\quad\)\(\begin{align}
S & = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right) \\
& = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\
& = \frac{1}{3} \\
\end{align}\)
정적분으로 바꾸어서 구하면,
\(\quad\)\(\begin{align}
S & = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right) \\
& = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left\{\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 +\left(\frac{1}{n}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{n}{n}\right)^2\right\} \\
& = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n} \\
& = \int_0^1 x^2dx \\
& = \left[\frac{1}{3} x^3\right]_0^1=\frac{1}{3} \\
\end{align}\)
급수를 정적분으로 바꾸기 위해, 크게 2가지 정도를 주의할 필요가 있습니다.
- 항상 무한소를 나타내기 위한 \(dx\)의 실수배로 바뀌는 \(\frac{p}{n}\) 형태가 만들어져야 합니다.
- 나머지 부분은 \(\left(a+\frac{pk}{n}\right)^q\)와 같은 구조로 만들 수 있어야 합니다.
응용예제
응용예제1
다음 중 \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n \left(1+\frac{2k}{n}\right)^2 \frac{3}{n}\)의 값과 다른 것은 어떤 것일까요?
\(\quad\)(가) \(\displaystyle \frac{3}{2}\int_1^3 x^2 dx\)
\(\quad\)(나) \(\displaystyle \frac{3}{2}\int_0^2 (1+x)^2 dx\)
\(\quad\)(다) \(\displaystyle 3\int_0^1 (1+2x)^2 dx\)
\(\quad\)(라) \(\displaystyle \int_0^3 \left(1+\frac{2}{3}x\right)^2 dx\)
\(\quad\)(마) \(\displaystyle \frac{3}{2}\int_2^6 \left(\frac{x}{2}\right)^2 dx\)
응용예제2
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt{\frac{3n}{3n+k}}\)의 값은? [3점] [2021학년도 수능 가형 11번]
