절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서 절댓값에 대한 정의와 해법을 배웠습니다. 여기서는 등식이 아닌 부등식일 때 해집합을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다.
부등식은 경계점에 대한 방정식을 풀고 방향을 결정함으로써 해집합을 구할 수 있습니다. 그러므로 부등식을 풀기 전에 방정식에 대한 이해가 반드시 선행되어야 합니다.
기본꼴
부등식 \(|x|<2\)의 해를 구해 보겠습니다. 부등식을 풀기 전에 \(|x|=2\)의 해 \(x=\pm 2\)먼저 구합니다. 거리가 2가 되는 지점으로부터 거리가 작아져야 하기 때문에 기준점(\(0\))으로 다가오는 쪽이 해집합을 구성합니다.
\(\quad\)\(-2<x<2\)
반면에 \(|x|>2\)의 해집합은 기준점으로부터 멀어져야 하기 때문에 다음과 같은 해집합을 갖게 됩니다.
\(\quad\)\(x<-2\; \mbox{or}\; x>2\)
기본꼴 변형
\(|x-3|<2\)인 경우에도, 방정식 \(|x-3|=2\)의 해인 \(x=5, 1\)를 먼저 구해 둡니다.
이 경우에도 기준점으로 거리가 짧아져야 하기 때문에 안쪽으로 모이는 다음과 같은 해집합을 갖습니다.
\(\quad\)\(1<x<5\)
응용꼴
절댓값이 2개 이상 있을 때에는 절댓값 기호를 벗는 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다.
방정식 \(|x-1|+|x-3|<6\)을 풀어라.
해설) 절댓값의 부호가 바뀌는 지점은 \(1, 3\)이므로 전체 실수집합을 3개의 부분으로 나누어 해집합을 구합니다. 구간을 나눌 때에는 전체를 겹치지 않게 나누어야 하므로, 등호를 한쪽에만 붙여야 합니다.
i) \(x<1\)
\(\quad\)\(-(x-1)-(x-3)<6\)
\(\quad\)임시 해집합 : \(x>-1\)
ii) \(1\leq x \leq 3\)
\(\quad\)\((x-1)-(x-3)<6\)
\(\quad\)임시 해집합 : 해는 모든 실수
iii) \(x>3\)
\(\quad\)\((x-1)+(x-3)<6\)
\(\quad\)임시 해집합 : \(x<5\)
먼저 조건 아래에서 해집합을 구한다는 것은 조건과 구해진 임시 해집합을 교집합해야 함을 의미합니다. 이후에 각각의 조건을 나누어진 구해진 해집합은 합쳐서 최종적인 해집합을 구성합니다.
\(\quad\)\(\therefore -1<x<5\)
부호가 바뀌는 지점보다 나누어지는 구간은 1개 더 많아집니다.
응용예제
응용예제1
두 부등식 \(|x+1|+|x-3| \le 8\), \(|x-a| \le 4\)의 해가 서로 같을 때, 상수 \(a\)의 값은?
응용예제2
수직선 위의 두 점 \(\mathrm{A}(4)\), \(\mathrm{B}(8)\)에 대하여 \(\mathrm{P}(x)\)가 \(\overline{\mathrm{AP}}+\overline{\mathrm{BP}} \le 10\)을 만족시킨다. \(\overline{\mathrm{OP}}\)의 길이의 최댓값을 \(M\), 최솟값을 \(m\)이라 할 때, \(M+m\)의 값을 구하시오. (단, \(\mathrm{O}\)는 원점이다.)
응용예제3
두 양수 \(a,b\;(a<b)\)에 대하여 부등식 \(|x|+|x-a|<b\)를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 \(f(a,b)\)로 나타낼 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(n\)은 자연수이다.)
\(\quad\)(ㄱ) \(f(2,3)=3\)
\(\quad\)(ㄴ) \(f(n,n+2)=n+1\)
\(\quad\)(ㄷ) \(f(n,n+2)=f(n+2,n+4)\)