절댓값이란, 어떤 실수 \(a\)를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 \(a\)까지의 거리를 의미합니다. 이것을 기호로 \(|a|\)로 나타냅니다.
절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0 또는 양수이어야 하며, 만약 실수 \(a\)가 음수라면, \(a\)에 \(-1\)을 곱해 양수로 만들어야 합니다. 예를 들어, \(3\)과 \(-3\)은 원점에서 각각 3만큼 떨어져 있지만, 그 거리를 나타내기 위해 양수인 \(3\)은 그 자체가 거리이고, 반면에 음수인 \(-3\)은 방향성에 해당하는 부호를 제거해야 하기 때문에, \(-1\)을 곱한 값이 거리가 됩니다.
따라서, 어떠 실수 \(a\)의 절댓값은 \(|a| \,\)로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다.
\(\quad\)\(|a| := \begin{cases} a, & \text{if}\quad a \ge 0 \\ -a, & \text{if}\quad a < 0. \end{cases} \)
이 결과는 이전에 배웠던 \(\sqrt{a^2}\)과 동일합니다. 절댓값 표기법이 좀 더 간단하기 때문에 앞으로 \(\sqrt{a^2}=|a|\)로 바꾸어서 사고하는 것이 좋겠습니다.
기본꼴
먼저 \(|x|=2\)의 해를 구해 보겠습니다. 이 경우는 정의식에 의해, 원점에서 오른쪽으로 가면 \(+2\)이고, 왼쪽이면 \(-2\)가 됩니다. 그러므로 \(x=\pm 2\)가 정답입니다.
절댓값은 음의 값을 가질 수 없기 때문에, 만약 오른쪽 변의 숫자가 음수이면, 해 없음이 정답입니다. 이 개념은 오른쪽 변이 식으로 바뀔지라도, 동일하게 사용될 수 있습니다.
기본꼴 변형
\(|x-3|=2\)인 경우에는 \(x-3=t\)로 치환해서 기본꼴로 만들 수 있습니다. 그러므로 \(t=\pm 2\), 즉 \(x-3=\pm 2\)이 되어 \(x=5, 1\)이 정답이 됩니다.
다른 사고
절댓값은 원점이 기준점이 되어 좌우로 거리를 이동하는 것을 의미합니다. \(x-3=t\)인 치환은 \(t=0\)인 원점에서 \(x-3=0\)을 만족하는 \(x=3\)으로 기준점이 바뀌는 것을 의미합니다. 즉, \(3\)에서 오른쪽으로 \(+2\)만큼, 왼쪽이면 \(-2\)만큼 이동해서 정답을 찾습니다.
응용꼴
절댓값이 두 개 이상 있을 때에는 치환이나 기준점의 변경으로는 답을 찾기가 힘듭니다. 이때에는 절댓값 기호를 벗는 경우를 생각해서 문제를 해결할 수 있습니다.
절댓값 기호가 여러 개 나오는 경우의 최댓값, 최솟값 문제는 기하학적으로 해결하는 방법이 훨씬 사고하기 쉽습니다.
경우1
풀이) 절댓값의 부호가 바뀌는 지점은 \(1,3\)입니다.
| 조건 | 풀이 | 임시해 |
| \(x<1\) | \(-(x-1)-(x-3)=6\) | \(x=-1\) |
| \(1\le x \le 3\) | \((x-1)-(x-3)=6\) | 해 없음 |
| \(x>3\) | \((x-1)+(x-3)=6\) | \(x=5\) |
임시해는 조건에 맞을 때에만 해가 됩니다. 여기서, 조건에 맞는 \(x=-1,5\)가 해입니다.
조건을 나눌 때 수직선 영역을 빠뜨리는 부분이 없어야 하고, 중복 없이 나누어야 합니다. 등호의 위치는 상관이 없지만, 이중으로 붙여서는 안 됩니다.
경우2
\(|f(x)|=g(x)\)인 경우에는 우변의 부호에 따라 다음과 같은 2가지로 나뉩니다.
\(\quad i)\)\(\quad g(x)< 0 \) : 해 없음 (절댓값의 결과가 음수가 될 수는 없습니다)
\(\quad ii)\) \(\quad g(x)\geq 0\) : \(\;\pm f(x)=g(x)\)
예제) \(x\)에 대한 방정식 \(|x+3|=x+1\)을 풀어라
해설1) 여기서 소개된 방법을 이용합니다.
| 조건 | 풀이 | 임시해 |
| \(x+1<0\) | 절대값이 음수일 수 없음 | 해 없음 |
| \(x+1\geq 0\) | \(x+3\)은 \(x+1\)보다 큰 양수이므로 같을 수 없음 | 해 없음 |
조건에 맞는 해가 없습니다. 해 없음이 정답입니다.
해설2) 절댓값을 양/음으로 나누어 푸는 방법입니다.
| 조건 | 풀이 | 임시해 |
| \(x<-3\) | \(-(x+3)=x+1\) | \(x=-2\) |
| \(x \geq -3\) | \((x+3)=x+1\) | 해 없음 |
조건에 맞는 해가 없습니다. 해 없음이 정답입니다.
경우3
\(|f(x)|=|g(x)|\)인 경우에는, 오른쪽 변의 부호가 이미 정해져 있으므로, 경우2의 두 번째에 해당됩니다.
\(\quad ii)\)\(\quad g(x)\geq 0\), \(\;\pm f(x)=g(x)\)
문제) \(x\)에 대한 방정식 \(|x-4|=|2x|\)을 풀어라.
해설) 양변이 양수이기 때문에 한쪽에만 \(\pm\)를 붙여서 풀어줍니다.
\(\quad\)\((x-4)=2x,\quad x=-4\)
\(\quad\)\(\displaystyle -(x-4)=2x,\quad x=\frac43\)
\(\quad\)∴ \(\displaystyle x=-4, \frac{4}{3}\)
\(f(x)=\pm g(x)\)와 같이 사고해도 결과는 같습니다. 또는 모든 부호를 생각하더라도, \(f=g, f=-g, -f=g, -f=-g\), 2가지 경우밖에 존재하지 않습니다.
