일차 함수(linear function)는 최고 차수가 1이하인 다항함수입니다. 즉, 그래프가 직선 모양인 함수입니다. 이중에서 원점을 지나는 일차함수를 특별히 정비례 함수(directly proportional function)라고 부릅니다.
\(x\)축과 나란한 직선들은 상수함수라고 합니다. 반면에 \(y\)축과 나란한 직선들은 \(X \to Y\)로의 함수가 아닙니다.
일차 함수는 정의역과 공역이 실수의 집합인, 다음과 같은 꼴의 함수입니다.
\(\quad\)\(f(x)=ax+b\,(a\neq 0)\)
여기서 \(a\,(a\neq 0)\)와 \(b\)는 임의의 실수입니다.
기울기
일차 함수 \(f(x)=ax+b\)의 기울기는 \(x\)와 곱해진 상수 \(a\)를 말하며, 이를 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
먼저, 일차 함수의 그래프 위의 임의의 두 점 \((x_1,f(x_1))\), \((x_2,f(x_2))\)라고 할 때, 기울기는 \(x\)와 \(y\)사이의 변화량의 비와 같습니다. 또한, \(x\)축의 양의 끝점에서 반시계 방향으로 회전해야 하는 각도를 \(\theta\)라고 할 때, 이 각도의 탄젠트의 값과 같습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\tan\theta\)
미분에서는 도함수라고 부릅니다. 일차함수의 도함수 \(f'(x)=a\)입니다.
절편
절편은 일차함수가 축과 만나는 점을 말합니다. 주로 특별한 언급이 없을 때에는 y절편을 지칭하는 경우가 많지만, 시험 문제에서는 반드시 어떤 절편인지를 표현해야 합니다.
구하려는 절편의 값은 다른 변수에 0의 값을 대입해서 구할 수 있습니다.
- \(y\)절편은 \(x=0\)을 대입해서 구합니다. 그러므로 \(y=b\)입니다. 좌표로 나타내면, \((0,b)\)로 나타내어집니다.
- \(x\)절편은 \(y=0\)을 대입해서 구합니다. 그러므로 \(\displaystyle x=-\frac{b}{a}\)입니다. 좌표로 나타내면, \(\displaystyle \left(-\frac{b}{a},0\right)\)로 나타냅니다.
한편, \(x\)절편은 일차함수 \(y=ax+b\)에서 \(y=0\)을 대입해서 만들어지는 \(ax+b=0\)인 일차다항식의 해가 됩니다.
직선
일차함수에서는 축과 나란한 직선을 표현할 수 없습니다.
만약 일차함수에서 \(a=0\)이면 \(y=b\)꼴이 되며, \(x\)축을 포함해서 \(x\)축과 나란한 직선으로 표현됩니다. 그러나 일차항이 없기 때문에 일차함수라고 부를 수는 없지만, \(f:X\rightarrow Y\)로의 함수라고 부를 수는 있습니다.
반면에 \(y\)축과 나란한 직선들은 \(f:X\rightarrow Y\)의 함수는 되지 않지만, \(f:Y\rightarrow X\)로의 함수는 될 수 있습니다. 그렇기 때문에 함수에서는 정의역과 공역을 반드시 명기해야만 합니다
응용예제
응용예제1
실수 \(x\)에 대하여 \(y=\left||x-1|-3\right|+|3x+1|\)의 최솟값을 구하시오.
