이차부등식이 주어진 경우에 해집합을 구하는 과정을 알아보았습니다.
여기서는 역과정인 주어진 해집합을 만족하는 이차부등식 만드는 과정에 대해 알아보겠습니다.
먼저 고려해야 할 사항은 해집합이 주어질 때, 경계점이 몇 개가 주어지는지가 가장 중요한 지점입니다.
예를 들어, 해집합 \(2<x<3\)인 이차부등식은 이차방정식에 해당하는 부분이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우입니다.
다른 예로, 해집합이 \(x=3\)인 이차부등식은 이차방정식에 해당하는 부분이 중근을 갖는 완전제곱식 모양이 됨을 의미합니다.
영역으로 주어지는 경우
해집합이 \(\alpha<x<\beta\)인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(a(x-\alpha)(x-\beta)<0,\;(a>0)\)
다른 조건에 의해 \(a\)를 구해야 합니다.
만약 \(a \le 0\)가 나오면 문제 출제가 잘못된 경우입니다.
해집합이 \(x<\alpha\;\) 또는 \(x>\beta\)인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(a(x-\alpha)(x-\beta)>0,\;(a>0)\)
한 점으로 주어지는 경우
해집합이 \(x\neq\alpha\)인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(a(x-\alpha)^2>0,\;(a>0)\)
해집합이 \(x=\alpha\)인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(a(x-\alpha)^2\leq0,\;(a>0)\)
기본예제
기본예제1
이차부등식 \(ax^2+bx+c<0\)의 해가 \(-2<x<1\)일 때, 부등식 \(bx^2+cx-3a>0\)의 해를 구하여라.
해설) 이차함수 \(y=ax^2+bx+c\)라고 두면, 해집합이 경계점이 2개이므로 \(x\)축과 2곳에서 만나야 합니다. 또한 부등호의 방향으로부터 이차함수가 \(x\)축 아랫부분에서 두 근의 사이를 해집합으로 가지려면, 그래프의 개형으로부터 이차항의 계수는 \(a\)는 양수이어야 합니다.
즉, 다음과 같이 이차부등식을 구성할 수 있습니다.
\(\quad\)\(a(x+2)(x-1)<0\)
\(\quad\)\(a(x+x-2)<0\)
원식과 비교하면, \(b=a, c=-2a\)임을 알 수 있습니다. 구하고자 하는 식에 대입을 합니다.
\(\quad\)\(ax^2-2ax-3a>0\)
여기서 \(a\)가 양수이므로 \(a\)로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
\(\quad\)\(x^2-2x-3>0\)
근이 \(-1, 3\)으로 2개이며, 그래프를 그렸을 때 \(x\)축보다 위쪽에 있는 모양이 선택됩니다. 해집합은 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(x<-1\) 또는 \(x>3\)
