이차방정식의 일반식의 계수와 구해진 두 근의 합과 곱 사이의 관계식에 대한 이야기입니다.
이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)를 각각
\(\quad\)\(\displaystyle \alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\), \(\displaystyle \beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\)
라 하면
\(\quad\)\(\displaystyle \alpha + \beta = \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} + \frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac {b}{a}\)
\(\quad\)\(\displaystyle \alpha \beta = \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \times \frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}=\frac {b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} =\frac {c}{a}\)
두 근의 합과 곱이 이차방정식의 계수 사이의 비값으로 나타남을 알 수 있습니다.
이차방정식의 근과 계수의 관계 다른 증명
이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근을 각각 \(\alpha, \beta\)라고 하면, \(\alpha, \beta\)을 근으로 갖는 이차방정식을 \((x-\alpha)(x-\beta)=0\)으로 만들 수 있습니다.
원래 이차방정식 양변에 \(\frac{1}{a}\)를 곱하더라도 근은 변하지 않습니다. 또한 근과 최고차항이 같으면 서로 같은 방정식입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \iff (x-\alpha)(x-\beta)=0\)
전개해서 정리하면, 서로 계수가 같아야 하므로 다음의 식을 만족합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{b}{a}=-(\alpha+\beta), \frac{c}{a}=\alpha\beta\)
그러므로 두 근의 합과 곱은 아래와 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
& \alpha + \beta = -\frac {b}{a} \\
& \alpha \beta = \frac {c}{a} \\
\end{align}\)
두 근의 차
이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)를 각각
\(\quad\)\(\displaystyle \alpha=\frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\), \(\displaystyle \beta=\frac {-b-\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}\)
라 하면, 두 근의 차이는 다음과 같이 구해집니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {-b+\sqrt {b^2-4ac\ }+b+\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| \)
\(\quad\)\(\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \left| \frac {2\sqrt {b^2-4ac\ }}{2a} \right| \)
\(\quad\)\(\displaystyle \left| \alpha - \beta \right| = \frac {\sqrt{b^2-4ac\ }}{\left| a \right|} \)
보통 위 식은 잘 이용하지 않게 되는데, 왜냐하면 이차 방정식의 모든 계수를 알고 있을 때 사용할 수 있기 때문입니다. 따라서, 이런 공식을 직접 사용해서 답을 구하는 문제를 출제하지 않는 것이 좋겠습니다.
한편, 다음의 식을 이용해서 구하는 것이 좀 더 자주 이용됩니다.
\(\quad\)\(\left(\alpha-\beta\right)^2=\left(\alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta\)
이차방정식의 인수분해
이차다항식의 인수분해는 중등과정에서 배운 방법이나, 인수정리를 이용해서 할 수 있습니다. 그러나 이 두 경우는 유리수 범위 내에서 인수분해만 대부분 가능하게 합니다.
복소수를 배운 지금은 복소수 범위까지 확대를 해서 인수분해를 가능하면 좋겠습니다. 이 방법에 이용되는 것이 근과 계수의 관계입니다.
즉, 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근 \(\alpha, \beta\)라 하면 다음의 과정이 성립합니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
ax^2+bx+c & =a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right) \\
& = a\left\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\right\} \\
& = a(x-\alpha)(x-\beta) \\
\end{align}\)
이 방법을 이용하면, 계수가 실수인 이차식은 복소수 범위까지 항상 인수분해가 가능합니다.
응용예제
응용예제1
실수 \(x,\;y\)가 \(x^2+y^2+xy=3\)을 만족할 때, \(x+y+xy\)의 최댓값과 최솟값의 합은?
응용예제2
이차방정식 \(x^2-7x+7=0\)의 두 근을 \(\alpha,\;\beta\) (\(\alpha < \beta\))라 놓습니다. 그림과 같이 \(\overline{\mathrm{AB}}=\alpha,\; \overline{\mathrm{CD}}=\beta\)인 이등변 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에 내접하는 정사각형 \(\mathrm{EFGH}\)의 넓이와 둘레의 길이를 두 근으로 하는 \(x\)에 대한 이차방정식이 \(x^2+mx+n=0\)일 때, 두 상수 \(m,\;n\)에 대하여 \(mn\)의 값은?
응용예제3
이차방정식 \(f(x)=0\)의 두 근의 합이 –6일 때, 방정식 \(f(3x-5)=0\)의 두 근의 합을 구하면?
응용예제4
이차방정식 \(x^2-px+q=0\)의 두 실근을 \(\alpha,\beta\)라 놓습니다. \(\alpha^2,\beta^2\)이 이차방정식 \(x^2+3px+4(q-1)=0\)의 두 근일 때, 상수 \(p,q\)에 대하여 \(p+q\)의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오.
응용예제5
0이 아닌 세 복소수 \(\alpha, \beta, \gamma\)가 \(\alpha+\beta+\gamma=0\), \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\)을 만족할 때, \(\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}+\overline{\left(\frac{\gamma}{\beta}\right)}\)의 값을 구하여라.
응용예제6
\(x\)에 관한 이차방정식 \(x^2-ax-2a=0\)이 서로 다른 두 실근을 가집니다. 두 실근의 절댓값의 합이 4일 때, 실수 \(a\)의 값을 구하여라.
응용예제7
다항식 \(f(x)=x^2-ax+b\)가 다음 세 조건을 만족할 때, 가능한 서로 다른 \(a+b+c+d\)의 값의 합을 구하여라.
\(\quad\)(ㄱ) \(f(c)=f(d)=0\)
\(\quad\)(ㄴ) \(a,b,c,d\)는 100 이하의 서로 다른 자연수입니다.
\(\quad\)(ㄷ) \(c,d\)는 각각 3개의 양의 약수를 가집니다.
응용예제8
\(x\)에 이차방정식 \(x^2-(3+\sqrt{2})x+m\sqrt{2}-4=0\)은 적어도 하나의 정수근을 가집니다. 이때, \(m\)의 값과 두 근을 구하여라. (단, \(m\)은 자연수)
응용예제9
세 실수 \(a,b,c\)에 대하여 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 두 근이 \(p,q\)이고, 이차방정식 \(cx^2-bx+a=0\)의 두 근이 \(r,s\)일 때, \(p,q,r,s\)의 대소 관계로 옳은 것은? (단, \(-1<p<0<q<1,\;r<s,\; ac \neq 0\)이다.)
응용예제10
이차방정식 \(x^2-5x+2=0\)의 두 근을 \(\alpha,\beta\)라 하면 다항식 \(f(x)\)는 \(f(\alpha)=2\beta\), \(f(\beta)=2\alpha\)를 만족시킨다. \(f(x)\)를 이차식 \(x^2-5x+2\)로 나누었을 때의 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \(\displaystyle R\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)\)의 값을 구하시오.
응용예제11
0이 아닌 복소수 \(z\)에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족시키는 두 실수 \(a,b\)의 값을 각각 구하시오. (단, \(i=\sqrt{-1}\))
\(\quad\)(ㄱ) \(z-2\)는 이차방정식 \(x^2-ax+4=0\)의 한 허근이다.
\(\quad\)(ㄴ) \(z-2i\)는 이차방정식 \(x^2-bx+4=0\)의 한 근이다.
응용예제12
세 유리수 \(a,b,c\)에 대하여 \(x\)에 대한 이차방정식
\(\quad\)\(ax^2+\sqrt{3}bx+c=0\)
의 한 근이 \(\alpha=2+\sqrt{3}\)이고. 다른 한 근을 \(\beta\)라 할 때, \(\displaystyle \alpha+\frac{1}{\beta}\)의 값은?
응용예제13
계수와 상수항이 모두 정수인 일차식 \(f(x)\)와 이차식 \(g(x)\)가 모두 실수 \(x\)에 대하여
\(\quad\)\(f(x)g(x)+f(x)-3g(x)=-x^3+x^2+7\)
을 만족시킨다. 방정식 \(f(x)=g(x)\)의 두 실근을 \(\alpha,\beta\)라 할 때, \(\alpha^2+\beta^2\)의 값을 구하시오.
응용예제14
\(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2+px+q=0\)의 서로 다른 두 근을 \(\alpha,\;\beta\)라 할 때, 이차식 \(f(x)=x^2-4px+6q\)가 다음 조검을 만족시킨다. 상수 \(p,q\)에 대하여 \(p^2+q^2\)의 값은?
\(\quad\)(ㄱ) \(f(x)\)를 \(x-\alpha^2\)으로 나눈 나머지는 \(-p^2\alpha-pq+9\)이다.
\(\quad\)(ㄴ) \(f(-p\beta-q)=p^3+p^2\alpha-pq+9\)