(고등학교) 유리함수

유리식에서처럼, 유리 함수(rational function)는 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수를 말합니다. 즉, 변수 $x$에 대한 다항식 $A(x),B(x)$에 대하여 $y=\frac{A(x)}{B(x)}$ (단, $B(x)\ne 0$)인 경우에 유리함수라고 정의합니다. 여기서 $B(x)$가 0인 아닌 상수이면 다항함수가 되고, 이것 역시 유리함수입니다.

이 기사는 분모의 차수가 오직 일차에 대해 다룹니다. 분모가 이차 이상인 유리함수는 미적분2에서 다룹니다.

표준형

이차함수에서는 이차항의 크기와 부호에 따라 그래프의 모양이 달라집니다. 여기서는 가장 기본적인 유리함수 ${\displaystyle y=\frac{k}{x}(k\ne 0)}$에 대해서 $k$의 크기와 부호에 따라 어떻게 달라지는지 알아보겠습니다.

k가 양수인 경우

먼저, k > 0인 경우를 보겠습니다.

다항함수와는 다르게 유리함수에서는 분모가 0이 되는 경우가 발생합니다. 그러므로 정의역에서 분모가 0이 되는 부분은 제외해야 합니다.

• 정의역 : {x|x ≠ 0인 실수}
• 치역 : {y|y ≠ 0인 실수}
• 점근선 : x = 0, y = 0
• 대칭점 : 원점(0, 0)
• 대칭선 : y = x, y = − x
• 제 1, 3사분면에만 그려집니다.
• k의 절댓값이 클수록 원점에서 멀어집니다.

k가 음수인 경우

다음으로, $k<0$인 경우를 보겠습니다.

마찬가지로 분모가 0이 되는 경우는 정의역에서 제외를 해야 합니다.

• 정의역 : {x|x ≠ 0인 실수}
• 치역 : {y|y ≠ 0인 실수}
• 점근선 : x = 0, y = 0
• 대칭점 : 원점(0, 0)
• 대칭선 : y = x, y = − x
• 제 2, 4사분면에만 그려집니다.
• k의 절댓값이 클수록 원점에서 멀어집니다.

여기서 주목할 것은 정의역과 공역에서 제외되는 점이 점근선과 대칭점의 좌표를 구성합니다. 또한 대칭점은 대칭선 위에 있습니다. 그러므로 대칭점을 기억하면 대부분의 것을 기억할 수 있습니다.

표준형의 평행이동

유리함수 ${\displaystyle y=\frac{k}{x}(k\ne 0)}$를 $x$축의 양의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 양의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 식은 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle y=\frac{k}{x-p}+q}$

특징들도 평행이동한 값으로 바뀝니다.

• 정의역 : {x|x ≠ p인 실수}
• 치역 : {y|y ≠ q인 실수}
• 점근선 : x = p, y = q
• 대칭점 : (p, q)
• 대칭선 : y − q = (x − p), y − q = − (x − p)
• k의 절댓값이 클수록 대칭점에서 멀어집니다.
• k > 0일 때에는 점근선에 대하여 1, 3사분면 방향으로 그려지며, k < 0일 때에는 점근선에 대하여 2, 4사분면 방향으로 그려집니다.

일반꼴의 그래프 그리기

유리함수의 평행이동에서 만들어진 식을 통분해서 만들어지는 다음과 같은 형태를 일반꼴이라고 합니다.

$$${\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}(c\ne 0,ad-bc\ne 0)}$

예를 들어, ${\displaystyle y=\frac{2x-3}{x-1}}$를 그래프를 그려보겠습니다. 

유리함수에서는 점근선으로부터 1,3사분면이나 2,4사분면에 위치하기 때문에, 유리함수의 그래프를 그리기 위해서는 점근선을 먼저 그려야 합니다.

점근선은 분모가 0일 때 발생하므로, $x-1=0$이 하나의 점근선입니다. 

다른 점근선은 $x$의 값이 아주 클 경우$(x\to \mathrm{\infty })$에 갖는$y$의 값입니다. 여기서 $x$의 값이 매우 크다는 것은 뒤의 상숫값의 존재가 계산에 영향을 미치지 않음을 의미합니다. 그러므로 ${\displaystyle y=\frac{2x}{x}=2}$이 점근선입니다.

이제 점근선으로부터 어느 쪽에 이르는지만 확인하면 그래프의 개형을 그릴 수 있습니다. 점근선의 $x$ 좌표가 아닌 점을 대입해서 $y$의 좌표값과 점근선의 $y$의 좌표의 값과 비교해서 알 수 있습니다. 즉, $x=2$을 대입하면, $y=1$의 값을 가집니다. 그러므로 점근선 $y=2$보다 작은 값을 가짐으로써, 점근선으로부터 2,4사분면에 그려집니다.

유리함수의 역함수

유리함수 ${\displaystyle y=\frac{ax+b}{cx+d}}$의 그래프는 어떻게 구할까요? 물론 유리함수의 역함수는 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle x=\frac{ay+b}{cy+d}}$

이 식을 $y$에 대해서 정리하면 역함수의 (유리함수)식은 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle y=\frac{-dx+b}{cx-a}}$

그러나, 유리함수의 역함수를 외워서 풀어서는 응용문제에 접근이 어렵습니다. 
그러므로 가급적 유리함수의 특징을 이용해서 역함수를 구하는 것이 좋습니다.
위의 예제의 유리함수 ${\displaystyle y=\frac{2x-3}{x-1}}$의 역함수를 구해보겠습니다.

이 유리함수의 대칭점이 $(1,2)$이므로, 역함수의 대칭점은 $(2,1)$입니다. 점근선을 구하는 방법을 역으로 이용하여 역함수는 다음의 꼴을 갖습니다.

$$${\displaystyle y=\frac{x+p}{x-2}}$

또한, 원래 유리함수는 $(2,1)$을 지나므로, 역함수는 $(1,2)$를 지납니다. 이 점을 역함수의 식에 대입하면, $p=-3$입니다.

따라서, 역함수의 식은 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle y=\frac{x-3}{x-2}}$

역함수의 식을 ${\displaystyle y=\frac{2x+q}{2x-4}}$로 놓을 수도 있습니다. 여기서는 $q=-6$으로 구해지기 때문에 약분하면 위의 구해진 식과 동일하게 구해집니다.

기본 그래프 구하기

유리함수에서, 평행이동의 값이 보이도록 정리하는 것은 크게 어려운 일은 아니지만, 어쨌든, 더 간단한 방법, 또는 실수가 적은 방법으로 구하길 원할 것입니다.

예를 들어, ${\displaystyle f(x)=\frac{3x-2}{2x-4}}$의 역함수는 함수 ${\displaystyle y=\frac{k}{x}}$의 그래프를 평행이동해서 그릴 수 있다. 이때, $k$는?

역함수를 직접 구하는 것은, 가능하다면, 피하고 싶기 때문에,

먼저, $y=f(x)$의 두 점근선의 교점의 좌표는 ${\displaystyle (2,\frac{3}{2})}$이므로, 역함수의 점 대칭점의 좌표는 ${\displaystyle (\frac{3}{2},2)}$입니다.

그러므로, 역함수는 ${\displaystyle y=\frac{2x+b}{x-\frac{3}{2}}}$로 놓으면, $y=f(x)$가 ${\displaystyle (0,\frac{1}{2})}$를 지나므로, 역함수는 ${\displaystyle (\frac{1}{2},0)}$을 지납니다.

따라서, 역함수는

$$${\displaystyle y=\frac{2x-1}{x-\frac{3}{2}}\cdots (1)}$

이것의 기본 그래프는 분모와 분자에서 약분이 가능하도록 대수적 조작을 해야 합니다.

$$${\displaystyle y=\frac{2(x-\frac{3}{2})+k}{x-\frac{3}{2}}\cdots (2)}$

여기서, 식 (2)의 분자와 식 (1)의 분자는 서로 같아야 하므로, 분자를 전개해서, $k=2$를 구할 수 있습니다.
이런 과정은 처음 배우는 학생들이 실수를 많이 하는 과정입니다. 특히, 중첩된 분수, 번분수를 종이에 적지 않고, 암산을 할 때 더욱 실수가 많이 발생하는 것을 볼 수 있습니다. 따라서, 다른 대안적인 방법이 필요합니다.

어쨌든, $k$는 다항식의 나눗셈의 나머지에 해당하므로, 항등식의 개념으로부터, 다음의 식을 생각할 수 있습니다.

$$${\displaystyle 2x-1=(x-\frac{3}{2})Q+R}$

이때, 몫, $Q=2$는 점근선에 의해 이미 알려져 있으므로, 나머지 $R$은 앞의 식이 0이 되도록 $x=\frac{3}{2}$를 대입, 즉 식 (1)의 분자에 대입해서 바로 구할 수 있습니다. 주의할 점은 분모의 일차 계수는 반드시 1이어야 하는 것으로써, 기본 그래프 자체는 분모에 오직 $x$만 두기 때문입니다.

게다가, 유리함수의 기본 그래프는 자기 자신이 역함수입니다. 이 말은 평행이동이 되더라도, 유리함수와 역함수 사이의 $k$값은 바뀌지 않음을 의미합니다. 따라서, 역함수를 구하지 않고, 원래 식에서 $k$를 구해도 상관없습니다.

하지만, 주의할 점은, 기본 그래프를 구할 때, 분모의 일차의 계수는 반드시 1이 되어야 한다는 점입니다. 원래 그래프에서 $k$를 구하기 위해 다음과 같이 식을 세워서는 안 됩니다.

$$$3x-2=(2x-4)Q_1+R_1\cdots (3)$

식 (3)은 분모에 해당하는 $(2x-4)$의 계수가 1이 아니기 때문에, 나머지, $R_1$이 $k$와 같아지지 않습니다. 식 (3)은 다음 나눗셈을 표현한 것입니다.

$$${\displaystyle \frac{3x-2}{2x-4}=Q_1+\frac{R_1}{2x-4}}$

만약, 이런 식으로 식을 세웠다면, 나머지를 분모의 일차의 계수로 나누어서, $k=\frac{R_1}{2}$가 되고, $R_1$은 식 (3)에 $x=2$를 대입해서 얻을 수 있습니다. 

따라서, 식(3)을 아래와 같이, 그의 계수가 1이 되도록 바꾸어서 시작하는 것이 실수가 적은 방법일 것으로 기대됩니다.

$$${\displaystyle \frac{3}{2}x-1=(x-2)Q_2+R_2\cdots (4)}$

식 (4)는 분모의 일차항의 계수가 1이므로, 나머지, $R_2$가 $k$의 값과 같습니다.

유리함수의 최댓값과 최솟값

기본적으로 유리함수는, 분모가 0이 되는, 즉, 점근선 중에 하나에서, 그의 함숫값이 무한히 크지거나, 무한히 작아지므로, 최댓값과 최솟값을 가지지 않습니다.

따라서, 최댓값과 최솟값을 묻는 문제는 닫힌 구간에 대해 질문이 이루어지고, 그 구간 안에서 유리함수 함수의 점근선을 포함해서는 안됩니다.

게다가, 여기서 다루어지는 직각쌍곡선인 유리함수는 두 개의 곡선으로 이루어지는데, 한쪽 곡선에서 증가함수, 또는 감소함수입니다. 따라서, 유리함수의 최댓값과 최솟값은 구간의 끝점에서 발생하므로, 끝점을 대입한 후에 큰 함숫값이 최댓값이고, 작은 함숫값이 최솟값입니다.

응용예제

응용예제1

${\displaystyle -\frac{1}{2}\le x\le 3}$에서 함수 ${\displaystyle y=\frac{2}{x+1}-2}$의 그래프와 직선 $mx-y+m=0$이 만나도록 하는 실수 $m$의 값의 범위가 $\alpha \le m\le \beta$일 때, $\beta -\alpha$의 값을 구하시오.

응용문제2

유리함수 ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x-4}+k}$의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 도형의 내부에 포함되고 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 17 이상이 되도록 하는 자연수 $k$의 최솟값은 얼마일까요?

응용문제3

${\displaystyle y=\frac{4}{x-2}(x>2)}$의 그래프 위의 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발을 가각 $\mathrm{Q},\mathrm{R}$이라 할 때, $\overline{\mathrm{PQ}}+\overline{\mathrm{PR}}$의 최솟값은?

응용문제4

유리함수 ${\displaystyle f(x)=\frac{2}{x-2}+3}$이라 할 때, 그래프 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$와 직선 $y=-x+5$ 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.

응용문제5

점 $A(-3,3)$과 곡선 ${\displaystyle y=\frac{3}{x}}$ 위의 두 점 $B,C$가 다음 조건을 만족시킵니다.

$$(가) 점 $B$와 점 $C$는 직선 $y=x$에 대해 대칭입니다.

$$(나) 삼각형 $ABC$의 넓이는 $2\sqrt{5}$입니다.

점 $B$의 좌표를 $(\alpha ,\beta )$라 할 때, ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값을 구하는 풀이과정을 쓰고 그 답을 구하시오.

응용문제6

원 $x^2+y^2=15$ 위의 점 $(x,y)$에 대하여 $xy=k$를 만족하는 정수 $k$의 개수는?

응용예제7

$x$에 관한 방정식 ${\displaystyle |1-\frac{1}{x}|=ax+b}$가 서로 다른 세 양근을 가지고, 세 근의 비가 $1:2:3$일 때, 세 근의 합을 구하여라.

응용예제8

유리함수 ${\displaystyle y=\frac{4}{x-3}+2(x>3)}$의 그래프 위의 한 점 $\mathrm{P}$와 두 점 $\mathrm{A}(4,0)$, $\mathrm{B}(0,2)$에 대하여 ${\overline{\mathrm{PA}}}^2+{\overline{\mathrm{PB}}}^2$의 최솟값을 구하시오.

응용예제9

유리함수 ${\displaystyle f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}}$의 그래프가 두 직선 $y=x-15$, $y=-x+20$에 대하여 각각 대칭일 때, 

$$$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(34)$

의 값을 구하시오. (단, $a,b,c,d$는 상수이고, $a\ne 0$이다.)

응용예제10

유리함수 ${\displaystyle f(x)=\frac{2x+b}{x-a}}$가 다음 조건을 만족시킨다.

$$(ㄱ) 2가 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 $f^{-1}(x)=f(x-4)-4$이다.
$$(ㄴ) 함수 $y=f(x)$의 그래프를 평행이동하면 함수 ${\displaystyle y=\frac{3}{x}}$의 그래프와 일치한다.

$a+b$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.)

응용예제11

어떤 실수 $a$에 대하여, 집합 $X=\{x|x\ne a\}$라 하자. 유리함수 $f$가 다음 조건을 만족시킬 때, $y=-x+k$와 만나서 생기는 두 점 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리 $\overline{\mathrm{AB}}$가 최솟값을 갖게 하는 $k$의 값과 그때의 $\overline{\mathrm{AB}}$의 길이를 차례대로 쓴 것은?

$$(가) $f:X\to X$

$$(나) ${\displaystyle f=-\frac{2}{x}}$와 평행이동하여 겹쳐진다.

$$(다) 두 점근선의 교점이 $2x-y+1=0$의 그래프 위에 있다. 

응용예제12

그림과 같이 함수 ${\displaystyle y=\frac{k}{x-1}+3(0<k<3)}$의 그래프와 $x$축, $y$축과의 교점을 각각 $\mathrm{A},\mathrm{B}$라 하자.

이 그래프의 두 점근선의 교점과 점 $\mathrm{B}$를 지나는 직선이 이 그래프와 만나는 점 중 $\mathrm{B}$가 아닌 점을 $\mathrm{P}$, 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{Q}$라 할 때, 다음에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] [2019학년도 수능 나형 20번]

$$(ㄱ) $k=1$일 때, 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $(2,4)$이다.

$$(ㄴ) $0<k<3$인 실수 $k$에 대하여 직선 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 기울기와 직선 $\mathrm{A}\mathrm{P}$의 기울기의 합은 $0$이다.

$$(ㄷ) 사각형 $\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{Q}$의 넓이가 자연수일 때, 직선 $\mathrm{B}\mathrm{P}$의 기울기는 $0$과 $1$ 사이의 값이다.