(고등학교) 오차방정식

오차 방정식이란, 최고차항의 차수가 5인 다항 방정식을 말합니다. $x$에 관한 오차 방정식의 일반적인 모양은

$$$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0,a\ne 0$

와 같습니다. 여기서 계수 $a,b,c,d,e$는 실수만을 다루게 됩니다.

일반해가 존재하지 않기 때문에 인수분해 공식을 이용하거나 인수정리를 통해서 인수분해를 한 후에 해를 구합니다.

자기-상반 방정식

자기-상반 방정식으로 주어지는 오차 방정식은 차수가 홀수이므로 우선, 조립제법이나 인수정리로 $x\pm k$의 꼴과 사차방정식으로 차수를 낮출 수 있습니다. 새롭게 만들어지는 사차방정식도 자기-상반 방정식이 되므로, 사차방정식의 자기-상반 방정식에서 소개한 방법으로 해를 구할 수 있습니다.

다음과 같은 예제를 보겠습니다.

$$$a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$

이 식은 인수정리에 따라 $x=-1$의 해를 갖습니다. 몫에 해당하는 사차방정식은 조립제법으로 구하면 다음과 같습니다.

$$$a{x}^4+(-a+b)x^3+(a-b+c)x^2+(-a+b)x+a=0$

근과 계수의 관계

오차방정식 $a{x}^5+b{x}^4+c{x}^3+d{x}^2+ex+f=0$의 다섯 근을 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,ϵ$라고 하면, 다항 방정식에서 근과 계수는 다음의 관계가 성립합니다.

$$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +ϵ=-\frac{b}{a}}$

$$${\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\alpha \delta +\alpha ϵ+\beta \gamma +\beta \delta +\beta ϵ+\gamma \delta +\gamma ϵ+\delta ϵ=\frac{c}{a}}$

$$${\displaystyle \alpha \beta \gamma +\alpha \beta \delta +\alpha \beta ϵ+\alpha \gamma \delta +\alpha \gamma ϵ+\alpha \delta ϵ+\beta \delta ϵ+\beta \delta \gamma +\beta \gamma ϵ+\gamma \delta ϵ=-\frac{d}{a}}$

$$${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta +\alpha \beta \gamma ϵ+\alpha \beta \delta ϵ+\alpha \gamma \delta ϵ+\beta \gamma \delta ϵ=\frac{e}{a}}$

$$${\displaystyle \alpha \beta \gamma \delta ϵ=-\frac{f}{a}}$