함수의 극한의 성질은, \(x\to a\)에서의 극한값이 존재할 때, 실수배, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 비-영인 분모에 대한 나눗셈에 대한 극한값을 이전의 극한값으로부터 구할 수 있다고 말합니다.
한편, 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 \(x=a\)에서 둘 다 연속이면, 다음 함수도 \(x=a\)에서 연속입니다.
- \(cf(x)\) (여기서, \(c\)는 상수)
- \(f(x) \pm g(x)\)
- \(f(x) g(x)\)
- \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) (여기서, \(g(x) \neq 0\))
이 연속함수의 성질은 함수의 극한의 성질과 아주 유사합니다. 연속을 극한으로 바꾸어도 문맥을 그대로 써먹을 수 있습니다.
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조각마다 정의된 함수에서 연속이지 않은 점에서 연속 여부를 확인하는 과정을 알아보겠습니다. 그림에서 함수 \(f(x), g(x)\)는 \(x=1\)에서 불연속입니다. 그렇다면, 함수 \(h(x)=f(x)+g(x)\)는 \(x=1\)에서 연속일까요?
함수의 개형만 주어져 있고, 함수 표현식을 제공하지 않았기 때문에, 표현식을 만들어서 해결할 수는 없습니다. 그렇기 때문에 극한값과 함숫값을 구해서 같은지를 확인해야 합니다.
- 함숫값: \(h(1)=f(1)+g(1)=2+1=3\)
- 좌극한: \(h(-1)=f(-1)+g(-1)=(0-)+(3-)=(3-)\)
- 우극한: \(h(1+)=f(1+)+g(1+)=1+2=3\)
모두 3의 값으로 같기 때문에 연속입니다. 여기서 극한값을 구할 때에는 \(y\)의 좌표가 아래(보통 \(x\)-축에서는 좌라고 표현)로부터 접근이므로 그 값보다 작다는 표현으로 \(-\)를 붙여줍니다. 당연히 위로부터 접근할 때에는 \(+\)를 붙여줍니다. 반면에 상수값(평평한 직선)으로 변하지 않을 때에는 부호를 붙이지 않습니다.
한편, 함수 \(i(x)=f(x) \times g(x)\)는 \(x=1\)에서 연속일까요?
- 함숫값: \(i(1)=f(1) \times g(1)=2 \times 1 = 2\)
- 좌극한: \(i(1-)=f(1-) \times g(1-) = (0-) \times (3-) = (0-)\)
- 우극한: \(i(1+) = f(1+) \times g(1+) = 1 \times 2 = 2\)
사실 우극한을 구할 필요는 없습니다. 함숫값과 좌극한이 다르기 때문에 불연속입니다. 그리고 좌극한을 구할 때, 끝에 둘 다 \(–\)가 붙었다고, 곱해서 \(+\)가 된다고 오해해서는 안됩니다. \(0–\)는 음수이고, \(3–\)는 양수이기 때문에 부호 자체는 음수이고, 값은 영이기 때문에 \(0–\)로 표현해야 합니다.
다른 예제로 \(x=1\)에서 합성함수 \(j(x)=g(f(x))\)는 연속일까요?
- 함숫값: \(j(1) = g(f(1))=g(2)=2\)
- 좌극한: \(j(1-) = g(f(1-))=g(0-)=(1-)\)
- 우극한: \(j(1+) = g(f(1+))=g(1)= 1\)
함숫값과 좌극한이 같지 않기 때문에 연속이 아니고, 우극한은 구할 필요가 없습니다.
또 다른 예제로 \(x=0\)에서 합성함수 \(k(x)=f(g(x))\)는 연속일까요?
- 함숫값: \(k(0)=f(g(0))=f(2)=0 \)
- 좌극한: \(k(0-)= f(g(0-))=f(1-)=(0-)\)
- 우극한: \(k(0+)=f(g(0+))=f(2+)=(0+)\)
세 개의 값이 영으로 같기 때문에 연속입니다.
최대·최소 정리
미적분학에서, 극단 값 정리(extreme value theorem)는, 만약 실수-값 함수(function) \(f\)가 닫힌(closed) 구간 \([a,b]\)에서 연속(continuous)이면, \(f\)가 최댓값(maximum)과 최솟값(minimum)을 각각 적어도 한 번씩 반드시 도달함을 말합니다. 즉, \([a,b]\)에 \(c\)와 \(d\)가 존재하고 다음을 만족합니다:
\(\quad\)\(f(c) \ge f(x) \ge f(d)\quad\text{for all }x\in [a,b].\)
여기서 주목할 것은 닫힌 구간에서만 이 명제가 참이라는 사실입니다. 열린 구간일 때에는 참이 아닌 경우가 생깁니다. 유리함수 또는 이차함수의 최대 최소에서 예제를 찾을 수 있습니다.
극단 값 정리는 나중에 롤의 정리(Rolle's theorem)를 증명하는 것에 사용됩니다.
사잇값 정리
수학적 해석학에서, 사잇값 정리(intermediate value theorem)는 만약 그의 도메인(domain)으로 구간(interval), \([a,b]\)를 갖는 연속 함수(continuous function) \(f\)가 각 구격 끝에서 값 \(f(a)\)와 \(f(b)\)를 가지면, 그것은 역시 구간 안의 어떤 점에서 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값을 가진다고 말합니다.
이것보다 더 많이 이용되는 것은 사잇값의 정리의 특수한 경우에 해당하는 볼차노의 정리로써, 다음과 같습니다.
- 만약 연속 함수가 구간 안에서 반대 부호의 값을 가지면, 그것은 해당 구간에서 근의 존재함을 의미합니다. 볼차노의 정리는, 만약 주어진 함수가 다항 함수이면, 구간에서 근이 홀수 개 존재함을 의미하지만, 짝수 개의 존재를 의미하지는 않습니다.
정리는 주어진 함수가 구간에서 연속이기 때문에, 양의 값에서 음의 값으로 부호가 바뀌거나, 또는 그 반대의 경우에서, \(x\)-축을 반드시 거치게 된다는 것을 의미합니다.
오른쪽 그림에서는 \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 임의의 값 \(s\)를 선택했을 때, \([a,b]\) 사이에서 해당 값을 갖도록 하는 점이 세 곳 존재함을 보여줍니다. 볼차노의 정리는 \(s\)가 영의 값이고, 즉 \(x\)-축이고, \(f(a)\)와 \(f(b)\)가 서로 반대의 부호를 가지게 되며, 세 개의 근을 가짐을 보여줍니다. 즉, 적어도 하나의 근은 반드시 가지게 됩니다.
응용예제
응용예제1
두 상수 \(a,b\)에 대하여 함수
\(\quad\)\(f(x)=a\sin x + bx +1\)
이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은?
\(\quad\)(가) \( a>b\)
\(\quad\)(나) \( a<b\)
\(\quad\)(다) \( a^2 > b^2\)
\(\quad\)(라) \( a^2 < b^2\)
\(\quad\)(마) \( a^2 = b^2\)
응용예제2
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 그림과 같고, 삼차함수 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 1이고, \(g(0)=3\)이다. 합성함수 \(\left(g\circ f\right)(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 함수 \(g(x)\)를 구하시오.
응용예제3
함수 \(f(x) = \left\{
\begin{align}
& x + 1 & (x \le 0) \\
& -\frac{1}{2}x+7 & (x > 0) \\
\end{align}\right.\)에 대하여 함수 \(f(x)f(x-a)\)가 \(x=a\)에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.
