(고등학교) 삼각형의 무게중심

 

삼각형의 무게 중심(center of gravity)은 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 꼭짓점의 대변의 중점을 연결한 선분(중선)의 교점을 말합니다.

삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 $2:1$로 내분합니다. 이 특징을 이용해서 삼각형의 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 무게중심의 좌표를 구해보겠습니다.

$\mathrm{△}\mathrm{ABC}$의 세 꼭짓점의 좌표가

$$$\mathrm{A}(x_1,y_1),\mathrm{B}(x_2,y_2),\mathrm{C}(x_3,y_3)$

로 주어졌을 때, 선분 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm{M}$은 수직선 위의 내분점에 따라 다음과 같이 구해집니다.

$$${\displaystyle \mathrm{M}(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2})}$

또한, 선분 $\mathrm{AM}$을 $2:1$로 내분하는 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 다음과 같이 구해집니다.

$$${\displaystyle \mathrm{G}(\frac{2\cdot \frac{x_2+x_3}{2}+x_1}{2+1},\frac{2\cdot \frac{y_2+y_3}{2}+y_1}{2+1})}$

그러므로 삼각형의 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 다음과 같습니다.

$$${\displaystyle \mathrm{G}(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})}$

기억할 만한 것

삼각형의 각 변을 같은 방향으로 같은 비율로 내분한 세 점으로 이루어지는 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 동일합니다. 또한 같은 방법으로 외분한 점들로 구성된 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다. 한마디로 별도로 계산할 필요가 없다는 것입니다.

예를 들어, 오른쪽 그림과 같이 $\mathrm{△}\mathrm{ABC}$의 각 선분을 $1:3$으로 내분하는 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$로 만들어지는 $\mathrm{△}\mathrm{PQR}$의 무게중심은 $\mathrm{△}\mathrm{ABC}$의 무게중심과 동일합니다. 그러므로 $\mathrm{△}\mathrm{PQR}$의 무게중심을 구하기 위해서 점 $\mathrm{P},\mathrm{Q},\mathrm{R}$의 좌표를 구할 필요는 없습니다. 원래 주어지는 점 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$의 좌표로 구해도 같은 무게중심의 좌표를 나타냅니다.

응용예제

응용예제1

$\mathrm{A}(2,2)$이고 무게중심이 원점인 정삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있습니다. 다음을 구하시오.

$$(ㄱ) 정삼각형의 한 변의 길이

$$(ㄴ) 꼭짓점 $\mathrm{B},\mathrm{C}$의 좌표를 구하여라. (단 점 $\mathrm{B}$의 $x$-좌표는 음수입니다.)

응용예제2

그림과 같이 두 직선 $y=\frac{1}{2}x$와 $y=3x$가 직선 $y=-2x+k$와 만나는 점을 각각 $\mathrm{A},\mathrm{B}$라 하자. 원점 $\mathrm{O}$와 두 점 $\mathrm{A},\mathrm{B}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 무게중심 좌표가 $\mathrm{G}(3,4)$일 때, 보기에서 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?

$$(ㄱ) 상수 $k$의 값은 15이다.

$$(ㄴ) $\mathrm{\angle }\mathrm{AOB}$의 이등분선과 선분 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{R}$이라 할 때, $\mathrm{R}$의 좌표는 $(5,5)$이다.

$$(ㄷ) $\mathrm{△}\mathrm{ABO}$의 넓이를 $S_1$, $\mathrm{△}\mathrm{BGR}$의 넓이를 $S_2$라고 할 때, $3S_2=(2-\sqrt{2})S_1$을 만족한다.

응용예제3

그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 무게중심 $\mathrm{G}$의 좌표는 $(1,\frac{4}{3})$이고, 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 $y=2x+1$이다. 점 $\mathrm{A}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 선분 $\mathrm{AH}$의 길이를 구하시오.

응용예제4

삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$의 연장선 위에 $\mathrm{A}\mathrm{Q}=2\mathrm{B}\mathrm{Q}$를 만족시키는 점을 $\mathrm{Q}$, 선분 $\mathrm{B}\mathrm{C}$ 위에 $2\mathrm{B}\mathrm{P}=\mathrm{C}\mathrm{P}$를 만족시키는 점을 $\mathrm{Q}$, 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 무게중심을 $\mathrm{G}$라 할 때, 다음에서 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?

$$ㄱ. 선분 $\mathrm{P}\mathrm{Q}$와 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$는 서로 평행하다.

$$ㄴ. 점 $\mathrm{P}$는 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{Q}\mathrm{C}$의 무게중심이다.

$$ㄷ. 삼각형 $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{B}\mathrm{P}\mathrm{G}$의 넓이의 9배이다.