보통 하나의 실수로 나타내는 크기만을 가진 스칼라와 달리, 크기와 방향을 가진 새로운 수학적 대상, 벡터는 스칼라와 마찬가지로 연산에 대한 정의가 필요합니다.
실수는 주로 사칙연산을 가장 기본 연산으로 다루기 때문에, 벡터에서도 사칙연산에 대한 정의가 가능한지, 만약 가능하다면 어떻게 연산에 대한 정의를 하는지 알아보겠습니다.
게다가, 여러 개의 스칼라를 사칙연산을 할 때, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등을 사용합니다. 이들 연산이 벡터에서도 여전히 사용될 수 있는지, 또는 같은 개념이 다른 형태로 연산되는지도 알아보겠습니다.
백터의 덧셈
속도와 가속도에서 언급한 것처럼, 벡터의 방향이 오직 한 방향으로 고정되면, 벡터는 스칼라(실수)로 줄어듭니다.
실수의 덧셈에서, 2+3은, 좌표축의 원점으로부터 오른쪽으로 2라는 좌표에 (2를 원점으로 생각했을 때) 2로부터 오른쪽으로 3을 이동해서 5라는 좌표에 이릅니다.
만약 이것을 벡터로 표현하면, 수직선 위에 시작점이 원점이고 끝점이 2인 벡터에 시작점이 2이고 끝점이 5인 벡터를 더하면, 시작점이 원점이고 끝점이 5인 벡터가 됩니다.
따라서, 일차원에서 벡터가 스칼라로 줄어드는 것을 만족하기 위해, 벡터의 덧셈은 한 벡터의 끝점에 다른 벡터의 시작점을 연결해서 한 벡터의 시작점과 다른 벡터의 끝점을 연결한 그림으로 나타내는 것입니다.
이는 이차원 공간에서도 여전히 같은 방법으로 덧셈이 가능해야 하므로, 그림과 같이 덧셈이 이루어져야 합니다.
한편, 비록 벡터가 시작점과 끝점이 연결되지 않을지라도, (자유) 벡터는 평행이동을 할 수 있으므로, 필요에 따라 언제든지 한 벡터의 끝점에 다른 벡터의 시작점을 둘 수 있습니다.
또한, 두 벡터의 시작점을 같은 점에 두면, 두 벡터의 덧셈은 두 벡터를 인접하는 두 변으로 갖는 평행사변형의 두 대각선 중에 하나일 것입니다.
게다가, 그래픽적으로 표현된 두 벡터의 덧셈이, 그림처럼, 평행이동에 의해, 순서가 바뀔 수 있으므로, (그림에서, 실선으로 표시된 두 벡터의 합과 점선으로 표시된 두 벡터의 합은 같은 벡터를 나타냅니다)
\(\quad\)\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
따라서, 벡터의 덧셈은 교환법칙이 성립합니다.
한편, 벡터는 시작점과 끝점으로 표시할 수 있으므로, 다음과 같은 벡터의 덧셈을 생각해 보십시오.
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{BC}}+\vec{\mathrm{CD}}\)
보통, 스칼라인 실수에서도 같은 연산을 수행할 때, 앞에서부터 순차적으로 수행합니다. (사실, 아래에서는 괄호가 필요 없습니다.)
\(\quad\)\(\begin{align}
(\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{BC}})+\vec{\mathrm{CD}} & = \vec{\mathrm{AC}}+\vec{\mathrm{CD}} \\
& = \vec{\mathrm{AD}}
\end{align}\)
그러나, 괄호가 있을 때에는 괄호를 먼저 수행합니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
\vec{\mathrm{AB}}+(\vec{\mathrm{BC}}+\vec{\mathrm{CD}}) & = \vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{BD}} \\
& = \vec{\mathrm{AD}}
\end{align}\)
따라서,
\(\quad\)\((\vec{\mathrm{AB}}+\vec{\mathrm{BC}})+\vec{\mathrm{CD}} = \vec{\mathrm{AB}}+(\vec{\mathrm{BC}}+\vec{\mathrm{CD}})\)
이므로, 벡터의 덧셈은 결합법칙이 성립합니다.
실수에서 남은 분배법칙은 실수의 곱셈이 정의되었을 때, 증명이 가능하므로, 벡터에서도 실수의 곱셈에 해당하는 연산, 즉 점 곱이 정의될 때, 분배법칙에 대해 다룰 것입니다.
실수의 덧셈에서 남은 몇 가지 주제로는, 덧셈에 대한 항등원과 역원이 있습니다.
벡터는 시작점과 끝점이 같은 독특한 벡터가 있습니다. 예를 들어, \(\vec{\mathrm{AA}}\)는 크기는 0이고 방향은 결정할 수 없는 벡터로써, 영벡터라고 하는데, 일반적으로 \(\vec{\mathrm{0}}\)으로 나타냅니다.
영벡터는 실수에서의 덧셈에 대한 항등원과 같은 역할을 합니다.
게다가, 덧셈에서 어떤 벡터를 제거하는 벡터, 예를 들어,
\(\quad\)\(\vec{x}+\vec{a}=\vec{b}\cdots(1)\)
에서 \(\vec{a}\)를 제거하기 위해서, 항등원의 역할을 하는 영벡터로 만드는, 즉, 실수에서 덧셈에 대한 역원에 해당하는, 벡터를 양쪽 변에 더하는데, 이 벡터를 역벡터라고 부릅니다.
어떤 벡터, 예를 들어, \(\vec{\mathrm{AB}}=\vec{a}\)의 역벡터는 그의 크기는 같고 방향인 반대인 벡터로 정의하고, \(\vec{\mathrm{BA}}=-\vec{a}\)로 나타냅니다.
이제, 식 (1)에서 \(\vec{x}\)는 양쪽 변에 \(-\vec{a}\)를 더함으로써,
\(\quad\)\(\vec{x}+\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{b}+(-\vec{a})\)
\(\quad\)\(\vec{x}+\vec{0} = \vec{b}+(-\vec{a})\)
\(\quad\)\(\vec{x} = \vec{b}+(-\vec{a})\cdots(2)\)
\(\quad\)\(\vec{x} = \vec{b}-\vec{a}\cdots(3)\)
식 (2)는 보다 간편히 나타내는 것이 벡터의 뺄셈으로써, 식 (3)과 같이 나타냅니다.
벡터의 뺄셈
벡터의 덧셈에 대한 정의는 굉장히 직관적이고 명확합니다. 따라서, 실수에서와 마찬가지로, 벡터의 뺄셈은 역벡터의 덧셈으로 생각해서 처리하는 것이 바람직합니다.
어쨌든, 벡터의 뺄셈의 정의는 그림과 같습니다.
두 벡터의 시작점을 같도록 평행이동을 한 후에, 빼는 벡터의 끝점을 시작점으로 하고, 빼지는 벡터의 끝점을 끝점으로 하는 벡터가 두 벡터의 뺄셈의 결과입니다.
