벡터의 연산은 덧셈, 뺄셈, 실수배에 대해 배웠습니다. 또한, 벡터의 성분 표시에 의한 덧셈, 뺄셈, 실수배가 어떻게 연산되는지 배웠습니다. 이제 사칙연산에서 남은 곱셈과 나눗셈이 벡터에서 정의가 되는지 알아보겠습니다.
벡터의 곱셈이, 덧셈과 뺄셈과 마찬가지로, 예를 들어, 성분 사이의 곱으로 정의될 수 있을까요?
만약 이-차원 평면이라면, 평면 위의 두 벡터 \(\vec{a}=(a_1,a_2)\), \(\vec{b}=(b_1,b_2)\)에 대해,
\(\quad\)\(\vec{a} \times \vec{b} = (a_1 \times b_1, a_2 \times b_2)\)
와 같은 같은 벡터의 곱셈의 정의는 기존의 정의와 모순되지 않고, 기하학적 의미를 가질 수 있을까요?
이 정의가 가능하려면, 일-차원으로 줄었을 때, 두 점 \(\mathrm{A}(a)\), \(\mathrm{B}(b)\)에 대해, 벡터의 곱셈은 실수의 곱셈과 같아집니다.
예를 들어, \(\mathrm{A}(a)\), \(\mathrm{B}(3)\)이면, 위의 곱셈 정의의 결과는 \(3a\)인데, 이것은 벡터의 실수배 \(3\vec{a}\)와 표기법이 같아집니다.
그래서, 위의 정의는 벡터의 실수배와 정의가 혼동되고, 차원을 계속해서 확장했을 때, 그 의미를 같게 유지할 수가 없습니다.
따라서, 이런 식으로 벡터의 곱셈을 정의할 수는 없습니다!!
실수의 곱셈에 대응할 수 있는 것으로, 벡터에서는 점 곱(dot product)과 교차 곱(cross product)이 있습니다. 그러나, 그 의미는 실수에서와는 전혀 다릅니다. 따라서, 실수에서, 곱셈을 취소하는 나눗셈과 같은 연산은 벡터에서 정의되지 않습니다.
먼저 점 곱(dot product)은 안의 곱(inner product) 또는 스칼라 곱(scalar product) 또는 드물게 투영 곱(projection product)이라고 불리는데, 이전에 배웠던 연산과 다르게, 그 연산의 결과는 벡터가 아니고 스칼라입니다.
기하학적 정의
직교 좌표 시스템에서, 유클리드 벡터(Euclidean vector)는 크기와 방향을 함께 갖는 기하학적 대상입니다. 벡터는 방향화된 길이, 주로 화살표로 그려집니다. 이때, 크기는 그의 길이이고, 방향은 화살표가 가리키는 방향입니다. 예를 들어, 벡터 \(\vec{a}\)의 크기는 \(\left|\vec{a}\right|\)로 표시됩니다.
두 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 점 곱은 다음과 같이 정의됩니다:
\(\quad\)\(\vec{a}\cdot\vec{b} =|\vec{a}|\ |\vec{b}|\cos\theta\).
여기서 \(\theta\)는 두 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\) 사이의 각도(angle)입니다.
특히, 만약 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)가 수직(orthogonal), 즉 그들의 각도가 \(\frac{\pi}{2}\) 또는 90°이면, \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\)는 다음을 의미합니다:
\(\quad\)\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 .\)
다른 극단적인 경우에서, 만약 그들이 같은 방향이면, 그들 사이의 각도는 0이고 다음을 만족합니다:
\(\quad\)\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \, \left| \vec{b} \right| \)
이것은 벡터 \(\vec{a}\)와 그 자신의 점 곱이 다음과 같음을 의미합니다:
\(\quad\)\(\vec{a} \cdot \vec{a} = \left| \vec{a} \right| ^2\).
이것으로부터, 벡터의 유클리드 길이(Euclidean length)에 대한 다음 공식을 제공합니다:
\(\quad\)\( \left| \vec{a} \right| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)
마지막으로, 만약 그들이 반대 방향이면, 그들 사이의 각도는 \(\pi\)이고 다음을 만족합니다:
\(\quad\)\(\vec{a} \cdot \vec{b} = -\left| \vec{a} \right| \, \left| \vec{b} \right| \)
벡터의 수직 조건과 평행 조건
영벡터가 아닌 두 벡터 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)에 대하여
- 수직 조건: \(\vec{a} \perp \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
- 평행 조건: \(\vec{a} \parallel \vec{b} = \pm \left| \vec{a} \right| \, \left| \vec{b} \right| \)
대수적 정의
벡터는 위의 방향화된 길이로 정의될 수 있지만, 보다 현대적으로 성분으로 표시될 수 있습니다.
두 벡터 \({\color{red}\vec{a}}=({\color{red}a_1, a_2, \cdots, a_n})\)와 \({\color{blue}\vec{b}}=({\color{red}b_1, b_2, \cdots, b_n})\)의 점 곱은 다음으로 정의됩니다:
\(\quad\)\(\displaystyle {\color{red}\vec{a}}\cdot{\color{blue}\vec{b}}=\sum_{i=1}^n {\color{red}a}_i{\color{blue}b}_i={\color{red}a}_1{\color{blue}b}_1+{\color{red}a}_2{\color{blue}b}_2+\cdots+{\color{red}a}_n{\color{blue}b}_n\)
여기서 \(\sum\)는 합계(summation)를 나타내고 \(n\)은 벡터 공간(vector space)의 차원입니다. 예를 들어, 이-차원 평면에서, 벡터 \(({\color{red}1, 3})\)와 \(({\color{blue}4, -2})\)의 점 곱은 다음과 같습니다:
\(\quad\)\(\begin{align}
\ ({\color{red}1, 3}) \cdot ({\color{blue}4, -2}) &= ({\color{red}1} \times {\color{blue}4}) + ({\color{red}3}\times{\color{blue}-2}) \\
&= 4 - 6 \\
&= -2
\end{align}\)
기하학적 정의와 대수적 정의의 동등성
직교 좌표 시스템에서, 기하학적 정의와 성분으로 표시된 대수적 정의의 동등성은 코사인 제2법칙을 통해 증명될 수 있습니다.
평면 위의 원점이 아닌 두 점 \(\mathrm{A}(a_1,a_2),\;\mathrm{B}(b_1,b_2)\)에 대해, 그의 위치벡터를, 각각,
\(\quad\)\(\vec{\mathrm{OA}}=\vec{a},\;\vec{\mathrm{OB}}=\vec{b}\)
로 놓고, 두 벡터가 이루는 예각을 \(\theta\)라고 놓습니다.
\(\triangle{\mathrm{OAB}}\)에 대하여 제 2코사인 정리를 적용하면,
\(\quad\)\(\overline{\mathrm{AB}}^2=\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OB}}^2-2\overline{\mathrm{OA}}\times \overline{\mathrm{OB}} \cos \theta\)
이때, 각 항을 벡터로 표현하면,
\(\quad\)\(|\vec{b}-\vec{a}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2|\vec{a}|\, |\vec{b}|\cos \theta\)
피타고라스 정리와 점 곱의 정의를 적용하면,
\(\quad\)\((b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2=(a_1^2+a_2^2)+(b_1^2+b_2^2)-2(\vec{a}\cdot \vec{b})\)
전개해서 정리하면,
\(\quad\)\(\vec{a}\cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2\)
벡터의 점 곱의 속성
세 평면벡터 \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\)와 실수 \(k\)에 대해,
첫째, 벡터의 점 곱은 교환법칙이 성립합니다.
- \(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)
둘째, 벡터 덧셈에 걸쳐 분배법칙이 성립합니다.
- \(\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}\cdot \vec{b} + \vec{a}\cdot \vec{c}\)
- \((\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\)
셋째, 스칼라 곱셈의 결합법칙이 성립합니다.
- \((k_1 \vec{a})\cdot (k_2 \vec{b})=k_1 k_2(\vec{a}\cdot \vec{b})\)
넷째, 결합법칙이 성립하지 않습니다.
- 벡터의 점 곱에서 결합법칙이 성립하려면, 다음 식이 성립해야 합니다.
- \((\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})\)
- 그러나, 점 곱의 결과는 실수가 되고, 점 곱과 실수 사이의 점 곱은 정의가 없습니다. 실수배와는 다릅니다.
- 간혹, 결합법칙이 성립하는 것처럼, 잘못된 표현을 사용하는 교재들이 있습니다. 결합법칙이 성립하는 것은 위의 스칼라 곱셈, 즉 벡터의 실수배에 대한 내용으로써, \((k\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot (k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\)를 의미합니다.
다섯째, 양쪽 변에서 취소(약분)가 되지 않습니다.
- 실수에서는 \(ab=ac\)에 대해, \(a\)가 0이 아니면 \(b=c\)를 만족합니다.
- 그러나 \(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}\)는 역수, 즉 벡터의 나눗셈에 대한 정의가 없으므로, 취소가 불가능합니다.
- 한편 \(\vec{a}\cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}\)에 대해, 만약, \(\vec{a}\ \neq \vec{0}\)이면, 분배법칙에 의해 \(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0\)를 만족합니다. 이것은 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}-\vec{c}\)가 수직임을 의미하지만, \(\vec{b}-\vec{c} \neq \vec{0}\)의 조건이 필요하므로, 따라서, \(\vec{b} \neq \vec{c}\)를 만족해야 합니다.
