구의 방정식에서, 원과 구의 정의는 같지만, 평면에서는 원이라는 용어로 사용하고, 공간에서는 구라는 용어를 사용할 뿐입니다.
그러므로, 이-차원 평면에서, 벡터로 표현한 원의 방정식은 그대로 구의 방정식에 사용될 수 있습니다.
구의 중심 \(\rm C\)와 구 위의 임의의 점 \(\rm P\)의 위치벡터를 각각 \(\vec{c}, \vec{p}\)라고 하면
\(\quad\)\(\overrightarrow{{\rm CP}}=\vec{p}-\vec{c}\)
이므로
\(\quad\)\(\left|\vec{p}-\vec{c}\right| = r\)
입니다.
즉, \(\left|\vec{p}-\vec{c}\right|^2 = r^2\)이고, 이것을 내적을 이용하여 나타내면
\(\quad\)\(\left(\vec{p}-\vec{c}\right)\cdot\left(\vec{p}-\vec{c}\right) = r^2\)
과 같습니다.
위의 벡터 방정식에서 구의 중심 \(\rm C\)와 임의의 점 \(\rm P\)에 대한 위치벡터가 각각 \(\vec{c}=(a, b, c), \vec{p}=(x, y, z)\)라고 하면, 구의 방정식은
\(\quad\)\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2\)
로 나타낼 수 있습니다.
지름의 양 끝점이 주어진 구의 벡터방정식
양 끝점에 대한 위치벡터를 \(\vec{a}, \vec{b}\), 구 위의 임의의 점 \(\rm P\)에 대한 위치벡터를 \(\vec{p}\)라고 하면, \(\overline{{\rm AP}}\perp\overline{{\rm BP}}\)인 위치관계에 있습니다.
따라서
\(\quad\)\(\overrightarrow{{\rm AP}}\cdot\overrightarrow{{\rm BP}}=0\)
\(\quad\)\((\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0\)
구와 직선의 교점
구와 직선의 교점은 직선의 방정식을 매개변수를 이용하여 좌표로 만든 후에 구의 방정식에 대입해서 매개변수를 구할 수 있습니다. 그러나 교점 사이의 거리를 묻는 문제 등에서, 유리수 범위에서 인수분해가 되지 않을 때에는 교점을 정의해서 근과 계수의 관계로 계산을 할 수 있습니다.
또는 원과 직선에서 현의 길이를 구할 때에 사용하던 방법처럼, 중심에서 현에 수선의 발을 내린 점\(\rm H\)와 중심 사이의 벡터와 직선의 방향벡터가 수직임을 이용해서 \(\rm H\)의 좌표를 이용해서 구할 수도 있습니다.
구와 구의 교선
구와 구가 만나면 원이 생깁니다. 구의 중심에서 교선으로 생기는 원 위의 점 사이에 내적 관계 문제들은 구의 중심에서 원의 중심까지의 벡터와 원의 중심에서 원주까지 벡터는 서로 수직으로 만나게 됩니다. 또한 두 구의 중심 사이의 벡터가 교선으로 생기는 원을 포함하는 평면의 수직벡터가 되며, 이 평면의 방정식은 두 구의 방정식을 빼서 생기는 일차 방정식이 평면의 방정식입니다.
