정적분에서, 구분구적법으로 만들어진 식을 정적분으로 정의하는 것을 배웠습니다. 이제 정적분으로 표현된 식의 값을 구하는 것을 알아보려고 합니다.
정적분과 미분의 관계
함수 \(y=f(t)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속이고, \(f(t) \ge 0\)라고 하면, 닫힌 구간 \([a, b]\)에 속하는 임의의 \(x\)에 대하여 \(a\)에서 \(x\)까지 함수 \(y=f(t)\)와 \(t\)-축 사이의 넓이를 \(S(x)\)라 하면, 정적분의 정의에 따라, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt\)
이때, \(x\)의 증분 \(\Delta x (>0)\)에 대한 \(S(x)\)의 증분을 \(\Delta S\)라 하면, 그의 넓이, 즉 정적분의 차이로 다음고 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad \Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)\)
한편, 닫힌 구간 \([x,x+\Delta x]\)에서 함수 \(f(t)\)는 마차가지로 연속이므로, 극단 값 정리에 따라, 최댓값과 최솟값을 가집니다.
그림처럼, 그 최댓값과 최솟값을 각각 \(M,m\)이라 하면, 넓이의 증분은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\(\quad m \Delta x \le \Delta S \le M \Delta x\)
또한, \(\Delta x > 0\)이므로, 부등식의 모든 항을 증분으로 나누면
\(\quad \displaystyle m \le \frac{\Delta S}{\Delta x} \le M\)
이때, \(x\)의 증분을 무한소로 만들면, 즉, \(\Delta x \to 0\)이면,
\(\quad \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} m \le \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta x} \le \lim_{\Delta x \to 0} M\)
한편, 함수 \(f(t)\)는 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속이므로,
\(\quad \Delta x \to 0\)이면, \(x+\Delta x \to x\)이므로,
\(\quad m \to f(x),\;M \to f(x)\)
그러므로, 샌드위치 정리에 의해,
\(\quad \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta S}{\Delta x}=f(x)\)
즉,
\(\quad \displaystyle \frac{d}{dx} S(x)=f(x)\).
위의 식을 대입하면,
\(\quad \displaystyle \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt = f(x)\)
이 관계식은, \(f(t) < 0\)인 경우에 대해, 비록 그의 부등호의 방향이 반대가 될지라도, 여전히 샌드위치 정리를 적용함으로써, 성립함을 보일 수 있습니다.
이 관계는 ''미적분학의 첫 번째 기본 정리''라고 불립니다.
정적분에서는 아래끝과 위끝이 결정됨으로써, 적분한 후에 그 결과를 미분할 때, 일정한 형태를 띠는 부정적분과 대조적으로, 일정한 모양을 띄지는 않습니다. 즉, 정적분은 아래끝, 위끝을 대입함으로써, 어떤 함수인지 결정되기 때문에, 그 후의 미분은 정적분의 결과로 나온 함수에 의존합니다.
예를 들어, 상수 \(a\) 및 함수 \(f(x)\)에 대하여
\(\quad \displaystyle \frac{d}{dx}\int_x^a f(t)dt = -f(x)\)
더구나, \(x>1\) 및 함수 \(f(x)\)에 대하여
\(\quad \displaystyle \frac{d}{dx}\int_x^{x^2} f(t)dt=2xf\left(x^2\right)-f(x)\)
미적분의 기본 정리
이제, 구분구적법을 정적분으로 표현한 것을 부정적분을 통해서 그 값을 구하려고 하는데, 보통 ''미적분학의 두 번째 기본 정리''라고 불립니다.
함수 \(\displaystyle S(x)=\int_a^x f(t)dt\)의 양변을 \(x\)에 관하여 미분하면
\(\quad \displaystyle S'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)\)
이므로, \(S(x)\)는 \(f(x)\)의 부정적분 중에 하나입니다.
그러므로, \(f(x)\)의 부정적분 중 다른 하나를 \(F(x)\)로 놓으면
\(\quad S(x)=F(x)+C\cdots(1)\;\) (\(C\)는 적분상수)
그런데, \(S(x)\)를 구하는 정적분의 정의 식에서 \(x=a\)이면, 위끝과 아래끝이 같기 때문에, \(S(a)=0\)입니다 (위끝와 아래끝이 같으면 한 지점, 선분으로 표현되기 때문에, 넓이(부정적분)는 영입니다). 마찬가지로 식 (1)에 \(x=a\)를 대입하면,
\(\quad S(a)=F(a)+C=0\)이고
\(\quad C=-F(a)\)
이 결과를 식 (1)에 대입하면,
\(\quad \begin{align}
S(x) & =F(x)-F(a) \\
& = \int_a^x f(t)dt\cdots(2) \\
\end{align}\)
식 (2)에 \(x=b\)를 대입하고, 적분변수 \(t\)를 \(x\)로 바꾸면,
\(\quad \displaystyle \int_a^b f(x)dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\cdots(3)\)
여기서 중간 식은 부정적분으로부터 정적분 값을 계산하기 위한 표기법입니다.
식 (3)에서, 부정적분을 표현할 때, 적분 상수를 사용하지 않았는데, 그 이유는 다음 수식으로 이해해 볼 수 있습니다.
\(\quad \displaystyle \int_a^b f(x)dx=\left[F(x)+C\right]_a^b=\left(F(b)+C\right)-\left(F(a)+C\right)\)
적분상수 \(C\)의 존재 유무와 상관없이, 식 (3)이 항상 성립하므로, 적분상수를 넣어서 계산할 필요가 없습니다.
특수한 경우
미적분의 두 번째 정리 중에 사용했던, 아래끝과 위끝이 같으면,
\(\quad \displaystyle \int_a^af(x)dx=0\)
아래끝과 위끝의 위치가 바뀌면,
\(\quad \displaystyle \int_a^b(x)dx=-\int_b^a f(x)dx\)
부정적분과 정적분의 표현의 차이
위의 전개에서, 적분변수 \(t\)를 \(x\)로 바꾸는 과정이 있습니다.
먼저, 부정적분에서는 적분변수를 바꿀 수 없습니다. 즉,
\(\quad \displaystyle \int f(x)dx \neq \int f(t)dt\)
왼쪽 변의 결과 식은 \(x\)의 함수이고, 오른쪽은 \(t\)의 함수이므로, 서로 다릅니다.
반면에, 정적분에서 변수는 숫자를 대입하기 위한 변수이므로, 어떤 문자가 되더라도, 값은 값이 대입됩니다. 따라서,
\(\quad \displaystyle \int_a^b f(t)dt=\int_a^b f(x)dx=\int_a^b f(y)dy\)
