고등학교 교과서의 무리식은 보다 일반적으로 사용하는 제곱근 표현, \(n\)-제곱근 표현으로 부르는 것이 좋겠습니다. 왜냐하면, 용어 무리수는 일반적으로 함수에 사용하지 않고, \(\pi\)와 같은 초월수를 무리 표현에 사용하는지 의문이 들 수 있기 때문입니다.
제곱근 표현(radical expression)은 \(n\)제곱근\((\sqrt[n]{\;\;})\) 기호 아래에 독립 변수 \(x\)에 대한 유리식을 포함하고 있을 때 이를 이르는 말입니다. 즉, 다음의 식이 제곱근 표현입니다.
\(\quad\)\(\sqrt[n]{g(x)}\)
- 만약 \(n\)이 홀수이면, 결과값은 항상 실숫값을 가질 수 있습니다.
- 반면에 \(n\)이 짝수이면, \(g(x)\geq 0\)일 때 실숫값을 가질 수 있습니다.
이 기사는 오직 \(n=2\)인 경우에 그 값이 실수인 경우를 다룰 것이므로, \(g(x)\geq 0\)라는 조건이 있어야 합니다. 게다가, \(g(x)\)에 유리 표현이 있을 때, 분모가 0이 되는 경우는 마찬가지로 제외되어야 합니다.
제곱근 표현의 계산
제곱근 표현에서, 특별한 경우는 간략히 되어 제곱근 표현이 사라지는 경우가 있습니다. 즉, 제곱근 안쪽의 표현이 완전제곱식이 되면, 절댓값 기호를 사용하여 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(\sqrt{A^2}=|A|\)
제곱근 표현에서처럼, \(A\)의 부호에 따라 다음과 같이 계산될 수 있습니다.
\(\quad\)\(\sqrt{A^2}=|A|=\left\{\begin{align}
A &\;\;(A\geq 0) \\
-A &\;\; (A < 0)
\end{align}\right.\)
비슷하지만, 전혀 다른 결과를 보이는 경우가 있습니다.
\(\quad\)\(\left(\sqrt{A}\right)^2=A\)
이 결과는 인수 \(A\)의 부호와 상관없이 항상 결과가 같습니다. 양수와 음수를 따로 생각해 보면,
\(\quad\)\(A \ge 0\): \(\left(\sqrt{A}\right)^2=A\)
\(\quad\)\(A < 0\): \(\left(\sqrt{A}\right)^2=\left(\sqrt{-A} i\right)^2=-(-A)=A\)
음수인 경우의 수식을 조작하는 연습이 필요합니다. 중요한 것은 제곱근 안의 인수가 양수로 표현하면, 언제나 계산이 쉽다는 점을 이용합니다. 만약 인수가 음수이면, 음의 제곱근을 다루듯이 수식을 조작하십시오.
분모 유리화
무리수와 마찬가지로, 다음과 같이 분모 유리화를 수행할 수 있습니다:
\(\quad\)\(\left(a\sqrt{b}+c\sqrt{d}\right)\left(a\sqrt{b}-c\sqrt{d}\right)=\left(a\sqrt{b}\right)^2-\left(c\sqrt{d}\right)^2=a^2b-c^2d\)
