지수의 확장에서, 밑수가 양수인 경우에 지수로 실수의 범위까지 취할 수 있는 것을 알아보았습니다. 밑수가 음수이면, 지수가 1보다 작은 제곱근의 형태가 되었을 때, 허수가 발생할 수 있기 때문에 밑수가 양수인 경우만 다룹니다. 따라서 양수의 밑수 \(a\)에 대해서, 지수가 실수의 값을 가지면, 그 값을 항상 양수를 얻을 수 있습니다.
한편, 이런 경우를 생각해 보십시오.
\(\quad\)밑수 2에 지수를 올렸더니, 값 8이 나왔을 때, 지수가 얼마일까요?
이런 질문에 대한 식을 만들면, 아래와 같이 방정식으로 만들 수 있습니다.
\(\quad\)\(2^x=8\)
이에 대한 답은 쉽게 \(x=3\)입니다. 왜냐하면, 2의 3 (거듭)제곱이 8이라는 사실을 알고 있기 때문입니다.
반면에, 다음 질문에 대한 답을 생각해 보십시오.
\(\quad\)밑수 2에 지수를 올렸더니, 값 7이 나왔을 때, 지수가 얼마일까요?
이런 질문은 결과 값이 2의 정수 (거듭)제곱이 아니기 때문에, 말할 수가 없고, 어떻게 나타낼지가 고민입니다. 결과값이 4보다 크고 8보다 작기 때문에, 지수에 올려져야 할 값은 아마도 2보다는 크고 3보다는 작은 것 같은 짐작은 됩니다.
이것에 대한 해답이 로그입니다. 이제 밑수의 정수 (거듭)제곱이 아닌 결과 값을 얻었을 때 일반적으로 표현하는 방법에 대해 알아보고자 합니다. 즉, 위의 질문에 대해 답을 찾을 것입니다. 위의 질문은 다음과 같은 식으로 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(2^x=7\)
이 식에 대한 답은, 그 결과 값이 밑수의 정수 거듭제곱이 아니면, 언제나 발생하는 공통적인 질문입니다. 그래서 이것에 대한 공통적인 표기법을 만든 것이 아래와 같은 로그입니다.
\(\quad\)\(x= \log_2 7\)
이를 일반화하면, 밑수가 양수일 때, 다음과 같은 필요충분조건을 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(a^x =b \Leftrightarrow x= \log_a b\)
하지만, 이 식이 항상 유효한 것은 아닙니다. 위의 관계식에서 \(a=1\)인 경우를 생각해 보십시오.
\(\quad\)\(1^x =1 \Leftrightarrow x= \log_1 1\)
이 경우에 지수로 표현했을 때에는 \(x\)의 어떤 값에 대해서도 유효한 식입니다. 그러나 로그로 표현된 식은, 왼쪽은 계속적으로 변하더라도 오른쪽은 값이 변하지 않기 때문에, 말이 되지 않는 경우입니다. 그렇기 때문에 밑수가 1인 경우는 위 식에서 제외되어야 합니다.
한편 다음 경우를 생각해 보십시오.
\(\quad\)\(x=\log_3 (-5) \Leftrightarrow 3^x=-5\)
이 경우에 왼쪽 식은 특별한 조건이 없다면, 쓸 수 있는 식입니다. 그러나, 위 식에 따라 지수 식으로 바꾸면, 말이 되지 않는 식입니다. 밑수가 양수이면, 지수에 실수를 대입해서 음수, 또는 영을 만들 수 없기 때문입니다. 따라서, 로그를 쓸 때, 원래 지수의 값에 해당하는 b는 양수 값만 가질 수 있습니다.
위의 내용을 종합해서 다음과 같은 로그의 정의를 만듭니다.
\(\quad\)\(a>0, a\neq 1\)일 때, 임의의 양수 \(b\)에 대하여 \(a^x=b \Leftrightarrow x=\log_a b\)
로그는, 밑수가 정해져 있을 때, 그 값을 만들기 위해서, 지수에 올려져야 할 값을 표현하기 위해서 만든 표기법입니다.
응용예제
응용예제1
등식 \(2^a=5^b\)을 만족시키는 양의 실수 \(a,b\)에 대하여 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?
\(\quad\)(ㄱ) \(b=\frac{1}{2}\)이면 \(a=\log_4 5\)이다.
\(\quad\)(ㄴ) \(2 < \frac{a}{b} < 3\)
\(\quad\)(ㄷ) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)은 무리수이다.
응용예제2
등식 \(\displaystyle p\log_{10} 30 + \frac{q}{\log_9 100}+4=0\)을 만족하는 유리수 \(p,q\)에 대하여 \(p^2+q^2\)의 값은?
응용예제3
\(k=1,2,3,\cdots\)에 대하여 \(b_k\)가 0 또는 1이고
\(\quad\)\(\displaystyle \log_5 2=\frac{b_1}{2}+\frac{b_2}{2^2}+\frac{b_3}{2^3}+\frac{b_4}{2^4}+\cdots\)
일 때, \(b_1+b_2+b_3\)의 값을 구하시오.