등차수열(arithmetic sequence)은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 말합니다. 이때, 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통적으로 나타나는 차이므로, 공차(common difference)라고 합니다. 예를 들어, 홀수열은 공차가 2인 등차수열입니다.
\(\quad\)\(1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots\)
수열의 첫항을 \(a_1\), 공차를 \(d\)라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(a_n = a_1 + (n-1)d \)
등차수열의 일반항
등차수열의 일반항은 정의를 수식으로 표현해서 순차적으로 대입을 해서 구할 수 있습니다.
\(\quad\)\(a_2-a_1=d\)
\(\quad\)\(a_3-a_2=d\)
\(\quad\)\(a_4-a_3=d\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n-a_{n-1}=d\)
위의 수식에서 첫째항(\(a_1\))이 주어진 경우라면, 일반항 \(a_n\)을 구하기 위해서 나머지 항들을 \(a_1\)으로 표현해야 합니다.
\(\quad\)\(a_3=a_2+d=a_1+(3-1)d\)
\(\quad\)\(a_4=a_3+d=a_1+(4-1)d\)
\(\quad\)\(a_5=a_4+d=a_1+(5-1)d\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n=a_{n-1}+d=a_1+(n-1)d\)
한편, 셋째항(\(a_3\))이 주어진 경우라면, 일반항 \(a_n\)을 구하기 위해서 이후의 항들을 \(a_3\)으로 표현해야 합니다.
\(\quad\)\(a_4=a_3+(4-3)d\)
\(\quad\)\(a_5=a_4+d=a_3+(5-3)d\)
\(\quad\)\(a_6=a_5+d=a_3+(6-3)d\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n=a_{n-1}+d=a_3+(n-3)d\)
이를 일반화하면, 주어진 위치의 항이 \(k\)번째(\(a_k\))이면 등차수열의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\therefore a_n = a_k + (n-k)d\)
등차중항
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 등차수열을 이룰 때, \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등차중항이라고 합니다.
세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여 \(b\)가 \(a\)와 \(c\)의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 공차가 서로 같습니다.
\(\quad\)공차\(=b-a = c-b\)
그러므로 등차중항을 구하고 싶은 경우라면, 다음과 같이 정리해서 사용할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle\therefore b=\frac{a+c}{2}\)
한편, 등차수열을 수직선 위에 표현하게 되면, 동일한 간격으로 값들이 위치합니다. 오른쪽 그림처럼 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 등차수열을 이루고 있다면, \(b\)는 \(a\)와 \(c\)의 중점(이등분점)입니다. 네 수 \(p\), \(q\), \(r\) \(s\)가 이 순서로 등차수열을 이루고 있다면, \(q\)는 \(p\)와 \(s\)의 \(1:2\) 내분점이고 \(r\)는 \(p\)와 \(s\)의 \(2:1\) 내분점입니다.
수열은 함수로 정의할 수도 있으므로 수직선 상의 내분점, 또는 외분점으로 사고하는 방법도 있습니다.
응용예제
응용예제1
일반항이 \(a_n=2n+3\)인 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여
\(\quad\)\((a_1a_3-a_1^2)+(a_2a_4-a_2^2)+(a_3a_5-a_3^2)+\cdots+(a_{10}a_{12}-a_{10}^2)\)
의 값은?
응용예제2
등차수열 \(\{a_n\}\)이 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(a_1>0\)이고 \(S_{14}=S_{28}\)이다. 다음 중 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?
\(\quad\)(ㄱ) \(a_{15}+a_{16}+a_{17}+\cdots+a_{28}=0\)
\(\quad\)(ㄴ) \(\left|a_{19}\right|=\left|a_{24}\right|\)
\(\quad\)(ㄷ) \(n=22\)일 때, \(S_n\)은 최댓값을 갖는다.
응용예제3
양의 실수 \(x\)에 대하여 \(x-\lfloor x\rfloor, \lfloor x\rfloor, x\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, \(x-\lfloor x\rfloor\)의 값은? (단, \(\lfloor x\rfloor\)는 \(x\)보다 크지 않은 최대의 정수이다.)
응용예제4
\(x\)에 관한 삼차방정식 \(x^3-3x^2-6x+k=0\)의 세 근이 등차수열을 이룰 때, 상수 \(k\)의 값과 세 근을 구하여라.
응용예제5
\(x\)에 관한 사차방정식 \(x^4-(3m+2)x^2+m^2=0\)의 네 실근이 등차수열을 이룰 때, 네 실근을 구하여라. (단, \(m\)은 정수이다.)
응용예제6
등차수열 \(\{a_n\}\)이
\(\quad\)\(\displaystyle a_5+a_{13}=3a_9,\;\;\sum_{k=1}^{18}a_k=\frac{9}{2}\)
를 만족시킬 때, \(a_{13}\)의 값은? [4점] [2018학년도_수능_나형_14번]
