등비수열(geometric sequence)은 각 항이 그 앞 항과 일정한 비를 가지는 수열을 말합니다. 이때, 두 항의 비는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공통적으로 나타나는 비이므로, 공비(common ratio)라고 합니다. 예를 들어, 다음은 공비가 2인 등비수열입니다.
\(\quad\)\(2,\;4,\;8,\;\ldots\)
등비수열의 첫항을 \(a_1\), 공비를 \(r\)이라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\(\quad\)\(a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
등비수열의 일반항
등비수열의 일반항은 정의를 수식으로 표현해서 순차적으로 대입을 해서 구할 수 있습니다.
\(\quad\)\(a_2=a_1\cdot r\)
\(\quad\)\(a_3=a_2\cdot r\)
\(\quad\)\(a_4=a_3\cdot r\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n=a_{n-1}\cdot r\)
위의 수식에서 첫째항(\(a_1\))이 주어진 경우라면, 일반항 \(a_n\)을 구하기 위해서 나머지 항들을 \(a_1\)으로 표현해야 합니다.
\(\quad\)\(a_3=a_2\cdot r=a_1\cdot r^{3-1}\)
\(\quad\)\(a_4=a_3\cdot r=a_1\cdot r^{4-1}\)
\(\quad\)\(a_5=a_4\cdot r=a_1\cdot r^{5-1}\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n=a_{n-1}\cdot r=a_1\cdot r^{n-1}\)
한편, 셋째항(\(a_3\))이 주어진 경우라면, 일반항 \(a_n\)을 구하기 위해서 이후의 항들을 \(a_3\)으로 표현해야 합니다.
\(\quad\)\(a_4=a_3\cdot r^{4-3}\)
\(\quad\)\(a_5=a_4\cdot r=a_3\cdot r^{5-3}\)
\(\quad\)\(a_6=a_5\cdot r=a_3\cdot r^{6-3}\)
\(\quad\)\(\quad\vdots\)
\(\quad\)\(a_n=a_{n-1}\cdot r=a_3\cdot r^{n-3}\)
이를 일반화하면, 주어진 위치의 항이 \(k\)번째(\(a_k\))이면 등비수열의 일반항은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\(\quad\)\(\therefore a_n = a_k\cdot r^{n-k} \)
등비수열의 성질
등비수열은 공비에 따라 다음과 같은 성질이 있습니다.
- \(r>0\)이면, 모든 항은 첫항과 같은 부호를 가집니다.
- \(r<0\)이면, 부호가 번갈아 가며 나타납니다.
- \(r>1\)이면, 초항의 같은 부호의 무한대를 향해 지수적으로 증가합니다.
- \(r=1\)이면, 모든 항의 값이 같아집니다.
- \(-1<r<1\)이고, 초항이 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소합니다.
- \(r=-1\)이면, 모든 항의 절댓값은 같지만, 부호가 번갈아 가며 나타납니다.
- \(r=0\)이면, 첫항을 제외한 모든 항이 0이 된다.
등비수열과 등차수열의 관계
등차수열의 일반항 : \(a_n=a_1+(n-1)d\)
등비수열의 일반항 : \(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\)
등차수열의 일반항을 지수로 삼아서 다음과 같이 변형해 봅니다.
\(\quad\)\(k^{a_1+(n-1)d}=k^{a_1-d+dn}\)
\(\quad\)\(=k^{a_1-d+1}\left((k^d)^{n-1}\right)\quad\cdots (2)\)
변형된 결과식 (2)는 등비수열의 모양입니다.
반면에 등비수열의 일반항에 로그를 취해서 변형하면 다음과 같습니다.
\(\quad\)\(\log \left( a_1 \cdot r^{n-1}\right)=\log a_1 + (n-1)\log r\quad\cdots (3)\)
변형된 결과식 (3)은 등차수열의 모양입니다.
등비중항
0이 아닌 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, \(b\)를 \(a\)와 \(c\)의 등비중항이라고 합니다.
따라서 세 수 \(a\), \(b\), \(c\)에 대하여, \(b\)가 \(a\)와 \(c\)의 등비중항이라면
\(\quad\)\(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = r\) 즉, \(b^2 =ac\)가 성립합니다.
또 \(b^2 =ac\)에서 \(b=\pm\sqrt{ac}\)이므로 등비중항은 양수와 음수로 2개를 가집니다.
여기서 \(b=\sqrt{ac}\)라면, 기하평균이라고 부릅니다.
응용예제
응용예제1
세 양의 실수 \(a,b,c\)는 이 순서로 등비수열을 이루고, 세 수 \(3^a,9^b, 27^c\)은 이 순서로 등비수열을 이룬다. 두 수열의 공비가 같을 때, \(a,b,c\)의 값을 구하여라.
응용예제2
이차함수 \(f(x)=ax^2+bx+c\)가 다음 세 조건을 만족할 때, \(f(x)\)를 구하여라. 단 \(a>0\)이다.
\(\quad\)(ㄱ) \(\displaystyle \frac{1}{a},\frac{1}{b}, \frac{1}{c}\)은 이 순서로 등차수열을 이룬다.
\(\quad\)(ㄴ) \(a,c,b\)는 이 순서로 공비가 1이 아닌 등비수열을 이룬다.
\(\quad\)(ㄷ) \(-1\le x \le 0\)에서 \(f(x)\)의 최댓값은 –3이다.
