다항식의 곱셈공식 또는 전개공식은 특별히 의미를 갖지는 않는데, 곱셈공식 자체는 주어진 식을 전개해서 간단히 한 결과이기 때문입니다.
반면에 다항식의 곱셈공식의 역은 곧 배우는, 인수분해 과정으로, 인수분해가 되면, 더 나중에 배우는, 방정식의 해를 특별한 과정 없이 바로 구할 수 있기 때문에 매우 중요합니다. 왜냐하면, 전개 공식은 분배과정을 거쳐 동류항을 단순화하는 과정이지만, 인수분해 과정은 이 역과정에서 사라진 부분을 만들어 내야 하는 등의 단순한 계산 과정이 아닌 부분이 있으므로, 쉽지 않은 과정이기 때문입니다.
따라서, 적어도 인수분해가 되는 것 중에 자주 사용해 왔던 것은 공식으로 암기할 필요가 있습니다. 마찬가지로, 그의 역과정에 해당하는 곱셈공식을 외우는 것은 실제로는 인수분해 공식을 외우는 과정으로 이해될 수 있습니다.
고등학교 교과과정에서 자주 사용되는 곱셈공식은 다음과 같은 것이 있습니다. 그리고, 교과과정에는 포함되지 않지만, 시험 문제에서 다루어지는 인수분해 중에서 잘 알려진 공식은 Factorization#Recognizable patterns에서 볼 수 있습니다. 다시 한번 강조하지만, 인수분해 공식과 곱셈공식은 역과정이기 때문에, 실제로는 서로 같은 항등식을 말합니다.
- \( ( a + b )^2 = a^2 + 2 a b + b^2 , ( a − b )^2 = a^2 − 2 a b + b^2\)
- \( ( a + b ) ( a − b ) = a^2 − b^2 \)
- \( ( x + a ) ( x + b ) = x^2 + ( a + b ) x + a b \)
- \( ( a x + b ) ( c x + d ) = a c x^2 + ( a d + b c ) x + b d \)
- \( ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x^3 + ( a + b + c ) x^2 + ( a b + b c + c a ) x + a b c \)
- \( ( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a \)
- \( ( a + b )^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 , ( a − b )^3 = a^3 − 3 a^2 b + 3 a b^2 − b^3\)
- \( ( a + b ) ( a^2 − a b + b^2 ) = a^3 + b^3 , ( a − b ) ( a^2 + a b + b^2 ) = a^3 − b^3 \)
- \( ( a + b + c ) ( a^2 + b^2 + c^2 − a b − b c − a c ) = a^3 + b^3 + c^3 − 3 a b c \)
- \( ( a^2 + a b + b^2 ) ( a^2 − a b + b^2 ) = a^4 + a^2 b^2 + b^4 \)
이전 과정이 2차식을 주로 다루었다면, 고등과정은 3차, 4차를 다루는 것에 중점을 두고 있습니다. 암기를 하실 때에는 비슷한 모양에서는 부호관계가 어떻게 되는지를 주의 깊게 봐둘 필요가 있습니다.
곱셈 공식의 변형
위의 곱셈공식에서, 어떤 항을 왼쪽에서 오른쪽으로 옮겨서 곱셈 공식의 변형된 형태를 마치 새로운 공식인 것처럼 만든 식이 있습니다. 그러나, 이런 식은 근본적으로 위의 공식과 같은 식이기 때문에 변형해서 억지로 외울 필요가 없습니다.
그런 식의 접근보다는 문제의 형태로부터 어떤 식을 응용할 것인지를 판단하는 것이 훨씬 쉽고, 외워야 하는 부담도 줄어 효과적입니다.
어쨌든, 예외적으로 다음의 변형된 식은 교과과정의 몇 곳에서 발생하기 때문에, 별도로 기억해 둘 필요는 있습니다.
\(\quad\)\( \begin{align} & a^2+b^2+c^2\pm ab\pm bc\pm ca \\ & = \frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2\pm 2ab\pm 2bc\pm 2ca\right) \\ & = \frac{1}{2}\left(a^2\pm 2ab+b^2+b^2\pm 2bc+c^2+c^2\pm 2ca+a^2\right) \\ & = \frac{1}{2} \left\{ (a\pm b)^2+(b\pm c)^2+(c\pm a)^2\right\} \\ \end{align} \)
이제 곱셈 공식의 변형 과정을 외우지 않고 어떻게 응용하는지 예제를 통해서 알아보겠습니다.
응용예제
응용예제1
\(\displaystyle x+\frac{1}{x}=4\)일 때, 다음 식의 값을 구하여라
(1) \(\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}\)
해설) 이 문제는 주어진 식의 근을 구해서, 구하고자 하는 식에 대입해서 답을 구할 수 있습니다. 그러나, 주어진 식의 해는 유리수가 아니기 때문에, 대입해서 답을 구하는 과정이 시간이 걸립니다.
그러므로, 보다 효과적인 방법을 이용해서 해를 구할 수 있는데, 구하고자 하는 식의 형태에 따라 그 방법이 달라집니다.
구하고자 하는 식의 형태를 맞추기 위해, 주어진 식의 양쪽 변을 제곱합니다:
\(\quad\)\(\displaystyle x^2+2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)
이것으로부터 구하고자 하는 식을 남기고 나머지를 다른 쪽 변으로 이동해서 답을 구합니다
\(\quad\)\(\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=14\)
(2) \(\displaystyle x-\frac{1}{x}\)
해설) 위의 경우와 다르게, 주어진 식과 구하고자 하는 식이 같은 차수를 가지므로, 주어진 식을 변형해서 구하고자 하는 식을 바로 구할 수 없습니다. 물론, 이런 간단한 식은 직접 구하는 식을 공식으로 만들 수 있지만, 어색한 수학입니다. 수학적 아름다움을 읽어 보십시오.
이런 경우에서, 두 식을 같이 변형해서 최대한 많은 공통부분을 만드는 것이 하나의 방법입니다.
또한, 변형을 위해서 양쪽 변에 같은 연산을 수행해야 하므로, 구하고자 하는 식을 \(\displaystyle x-\frac{1}{x}=k\)로 놓는 것이 중요한 과정입니다.
이제 주어진 식과 구하는 식의 양쪽 변을 제곱하는데, 그래야 최대한 공통부분이 많이 생기기 때문입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle x^2+2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)
\(\quad\)\(\displaystyle x^2-2x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=k^2\)
두 식을 변변 빼면 \(4=16-k^2\)입니다. 그러므로 \(k^2=12\)이고, \(k=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}\)입니다.
이 과정에서 주의할 부분이 있습니다.
예를 들어, \(x=2\)의 양쪽 변의 제곱은 \(x^2=4\)입니다. \(x^2=4\)의 근은 \(x=\pm 2\)이지만, 원래의 값은 \(x=2\) 하나뿐이었습니다.
따라서, 원래의 식을 제곱한 결과가 여러 개의 값을 가지면, 그 전부가 답이 되는지 일부만 답이 되는지 확인하는 과정이 필요합니다.
이것은 수학 전반에 걸쳐 식을, 변형한 표현이 원래 표현과 필요충분조건이 아닐 때, 원래 식의 해가 되지 않는 해 (무연근)를 걸러내는 중요한 과정입니다.
이 문제에서, \(x>1\)이라는 조건이 있으면, \(k=2\sqrt{3}\)이 답이 되고, 다른 것은 답이 되지 않습니다. 왜냐하면, 1보다 큰 숫자는 역수가 1보다 작아지므로, 다음을 만족하기 때문입니다.
\(\quad\)\(\displaystyle x-\frac{1}{x} > 0\)
(3) \(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3} \)
해설) 이 문제의 해설은 인수분해를 배운 후와 배우기 전이 다릅니다.
인수분해를 배우기 전) 주어진 식의 양변을 세제곱 한 후에, 다음의 과정을 거칩니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
& x^3+3x^2\cdot \frac{1}{x}+3x\cdot\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=4^3 \\
& x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=4^3 \\
& x^3+\frac{1}{x^3}+3 \cdot 4 =4^3 \\
& x^3+\frac{1}{x^3} = 4^3 - 3 \cdot 4 = 4(4^2-3) =52 \\
\end{align}\)
인수분해를 배운 후) 인수분해를 하면, 차수가 줄어들기 때문에, 생각하기가 훨씬 편해집니다. 따라서, 인수분해가 가능한 것은 인수분해를 먼저 수행하고, 방법을 생각해야 합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)\;\left(x^2-1+\frac{1}{x^2}\right) \)
곱해진 두 식에서 앞의 값은 이미 주어져 있으므로, 뒤의 값을 구해야 하는데, 식 (1)에서 푸는 방법을 이용할 수 있습니다. 3차를 2차로 줄여서 문제를 풀기 때문에 복잡도가 줄어들며, 인수분해의 중요한 가치 중에 하나입니다.
응용예제2
\(a+b+c=3,\;a^2+b^2+c^2=7,\;abc=2\)일 때, \(a^3+b^3+c^3\)의 값은?
해설) 이 식도 주어진 식이 3개이고 변수가 3개이므로, 연립방정식을 통해서 해를 구할 수 있습니다. 그리고, 각각의 값을 구하는 식에 대입해서 답을 구할 수 있습니다. 그러나, 삼원이차 연립방정식은 대체로 특별한 경우가 아니라면, 해를 연필과 종이로 구하기 매우 어렵습니다. 직접 구해보십시오!!
따라서, 주어진 식을 변형해서 답을 찾는 방법을 이용하는 것이 훨씬 쉽습니다.
먼저, 주어진 어떤 식을 변형해서 구하는 식이 될지 잘 알 수 없기 때문에, 구하는 식을 \(a^3+b^3+c^3=k\)라고 놓습니다.
그런 다음, 양쪽 변에 \(-3abc\)를 더해주는데, 그 항이 있으면, 곱셈공식을 이용할 수 있기 때문입니다.
\(\quad\)\(a^3+b^3+c^3-3abc = k-3abc\)
이제 문제는 변형공식을 적용하지 않고 곱셈공식을 이용해서 풀 수 있게 되었습니다.
이런 유형에서, 문제가 복잡하다고 느낄 수 있기 때문에, 만약 조건 \(a+b+c=0\)이 있으면, \(k=3abc\)가 되어서 쉽게 답을 찾을 수 있습니다.
응용예제3
\(a+b+c=4,\;a^2+b^2+c^2=20,\;abc=-1\)일 때, \(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)의 값은?
해설) 이 문제는 위의 응용예제2와 같은 문제로써, 어떻게 변형하는 것이 좋을지 판단해야 합니다.
주어진 식을 \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=k\)로 놓고, 분모를 없애기 위해 분모의 최소공배수를 양변에 곱합니다.
\(\quad\)\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=k(abc)^2\)
\(\quad\)\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=k\)
이제 분자는 \(ab+bc+ca\)을 제곱해서 구할 수 있습니다. 그러므로 먼저 해당 식의 값을 구합니다.
\(\quad\)\(a+b+c=4\) : 양쪽 변을 제곱합니다.
\(\quad\)\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=16\)
\(\quad\)\(ab+bc+ca=-2\)
이제 위의 식의 양쪽 변을 제곱합니다.
\(\quad\)\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\left(ab^2+bc^2a+ca^2b\right)=4\)
좌우변을 넘겨서 정리를 하면, 조건에 있는 값을 대입해서 답을 구할 수 있습니다.
\(\quad\)\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=4-+2abc\left(b+c+a\right)\)
수학에서 분모를 없애는 것은, 식을 단순화해서, 문제의 해법을 쉽게 찾을 수 있는 좋은 방법 중에 하나입니다.
응용예제4
\(a-b=2+\sqrt{3},\;b-c=2-\sqrt{3}\)일 때, \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)의 값은?
해설) 이 문제에서, 주어진 식보다 문자가 많기 때문에, 부정방정식입니다. 그리고, 주어진 식은 부정방정식의 모든 해에 대해 같은 값을 가집니다.
위에서 암기한 변형공식을 이용하는 것이 편합니다. 주어진 두식을 더하면, \(a-c=4\)가 됩니다.
\(\quad\)\(\begin{align}
& a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\
& = \frac{1}{2}\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\} \\
& = \frac{1}{2}\left\{(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2+(-4)^2\right\} \\
& = 15 \\
\end{align}\)
다른 풀이) 부정방정식의 해 중에서 가장 간단한 것을 대입해서 구해도 상관없습니다.
주어진 식에 \(b\)가 공통으로 들어 있고, 오른쪽 변에 \(\sqrt{3}\)이 공통으로 있으므로, \(b=-\sqrt{3}\)으로 두면, \(a=2,\;c=-2\)이므로, 구하는 식에 대입해서 계산할 수 있습니다.
어쨌든, 구하는 식의 결과가 하나의 값이라는 확인이 없으면, 이 방법은 사용할 수 없습니다. 즉, 객관식에서 사용하십시오!!
응용예제5
세 수 \(a,b,c\)에 대하여 \(a+b+c=3,\;a^2+b^2+c^2=3\)이 성립할 때
\(\quad\)(가) \( (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)\)의 값을 구하면?
\(\quad\)(나) \( (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\)의 값을 구하면?
\(\quad\)(다) 앞의 (나)의 결과를 이용하여 \( a^3+b^3+c^3 \)의 값을 구하면?
응용예제6
두 수 \(x,y\)의 합과 곱이 모두 양수이고, \(x^2+y^2,\;x^4+y^4=8\)일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
\(\quad\)(ㄱ) \(x+y\)
\(\quad\)(ㄴ) \(xy\)
\(\quad\)(ㄷ) \(x^3+y^3\)
\(\quad\)(ㄹ) \(x^5+y^5\)
응용예제7
\(\displaystyle p=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\;q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)일 때,
\(\quad\)\(ap^6+bp^8=-1,\;aq^9+bq^8=-1\)
을 만족시키는 정수 \(a,b\)에 대하여 \(2a+b\)의 값을 구하시오.
응용예제8
실수 \(x,y,z\)가 다음을 만족시킬 때, \(x^5+y^5+z^5\)의 값을 구하시오.
\(\quad\)\(x+y+z=5,\;x^2+y^2+z^2=15,\;xyz=-3\)
응용예제9
다음 등식을 만족하는 \(a\)의 값은? (2015 국민대 기출)
\(\quad\)\( \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}}\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right) \)
