등차수열, 등비수열 등에서 첫 번째 항부터 n개의 항의 합을 \(S_n\)으로 나타내는 것을 배웠습니다. 여기서는 수열의 합에 대해서 그의 항의 개수가 무한대일 때 이르는 급수에 대해 알아보고자 합니다.
보통 급수는 그의 항의 개수가 무한한 경우를 다루기 때문에, 수열의 합에서 다룬 유한한 n 개의 항의 합은 부분합이라고 부릅니다. 그리고 부분합의 관점에서 급수를 표현할 때에는 다음과 같이 표현합니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+a_2+\cdots\)
반면에 급수 자체를 그냥 표현할 때에는 좀 더 축약된 형태로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\(\quad\)\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+a_2+\cdots\)
급수의 수렴과 발산
수열의 극한에서 수렴에 대해 이미 알아보았습니다. 즉, 수열 \(a_n\)
\(\quad\)\(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n,\cdots\)
은 그의 일반항에 대한 극한
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \)
이 유일한 값을 가질 때, 수렴한다고 말합니다.
그럼, 다음과 같은 수열
\(\quad\)\(S_1, S_2, S_3, \cdots, S_n,\cdots\)
이, 만약 유일한 값을 가질 때, 역시 수렴한다고 말할 수 있습니다. 즉,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = S \)
여기서, \(\textstyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k\)로 정의하면,
\(\quad\)\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k = S \)
이므로, 급수는 수렴한다고 말할 수 있습니다. 즉, 수열의 부분합이 수렴하는 수열은 그의 급수가 수렴한다고 말합니다. 그렇지 않으면, 발산한다고 말합니다.
보다 자세한 내용에 대해 영문 위키피디아 번역 기사를 참조하십시오;
https://dawoum.tistory.com/443
응용예제
응용예제1
이차함수 \(f(x)=\frac{3x-x^2}{2}\)에 대하여 구간 \([0,\infty)\)에서 정의된 함수 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\quad\)(가) \(0\le x < 1\)일 때, \(g(x)=f(x)\)이다.
\(\quad\)(나) \(n \le x < n+1\)일 때, \(g(x)=\frac{1}{2^n}\left\{f(x-n)-x(x-n)\right\}+x\)이다. (단, \(n\)은 자연수이다.)
어떤 자연수 \(k\;(k \ge 6)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는
\(\quad\)\(h(x)=\left\{
\begin{align}
& g(x) & & (0 \le x < 5\;\mbox{or}\; x \ge k) \\
& 2x-g(x) & & (5 \le x < k) \\
\end{align}\right.\)
이다. 수열 \(\displaystyle \left\{a_n\right\}\)을 \(\displaystyle a_n=\int_0^n h(x)dx\)라 할 때, \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(2a_n -n^2\right)=\frac{241}{768}\)이다. \(k\)의 값을 구하시오. [4점] [2018학년도 수능 나형 30번]
