인수분해를 하는 이유는 이미 소개를 했으며, 여기서는 일변수 보통 \(x\)에 대한 유리수 계수를 갖는 삼차 이상의 방정식의 유리수 계수를 갖는 인수로의 분해를 알아보고자 합니다.
삼차 이상의 다항식 중에서 인수분해 공식에 있는 것은 그것을 적용할 수 있으며, 그렇지 않은 경우에는 인수정리 등을 이용할 수 있습니다.
인수정리는 1개의 근, 즉 인수를 찾을 수 있기 때문에, 조립제법 등을 이용해서, 몫에 해당하는 남겨지는 다항식을 구해야 합니다. 그런 후에, 다시 인수분해 또는 인수정리를 적용할 수 있습니다. 즉, 고차식의 인수분해는 다음의 과정을 거칩니다.
\(\quad\)1. 다항식 \(f(x)\)에 대하여 \(f(\alpha)=0\)을 만족하는 \(\alpha\)를 구합니다.
\(\quad\)2. 조립제법을 이용하여 몫 \(Q(x)\)를 구하여 \(f(x)=(x-\alpha)Q(x)\)로 정리합니다.
\(\quad\)3. \(Q(x)\)에 대해 위의 과정을 반복하는데, 이차식이면 근의 공식 등을 이용해서 인수분해를 할 수 있습니다.
문제는, 이제 \(\alpha\)를 선택하는 것으로 바뀝니다. 주어진 식에 어떤 값을 대입해서, 전체의 값이 영이 될지를 판단할 수 있어야 합니다.
주어진 다항식이 일차식의 곱 \(f(x)=(ax+b)(cx+d)(ex+f)\cdots\)으로 인수분해가 될 것으로 가정해 보십시오. 이 식으로부터 \(\textstyle \alpha=-\frac{b}{a}, -\frac{d}{c}, -\frac{f}{e} \cdots\)의 값을 가짐을 알 수 있습니다.
또한, 각각의 곱은 분모에 대해 \(a\cdot c \cdot e \cdots\)는 선행 계수이고, 분자에 대해 \(b\cdot d \cdot f \cdots\)는 상수항인데, 그의 부호는 달라질 수 있습니다. 반면에, 선행 계수 또는 상수항의 입장에서는 해당 숫자들이 약수로 생각할 수 있습니다.
따라서, 유리수 근을 가지는 경우에, \(\alpha\)의 후보는 아래의 꼴을 갖게 됩니다. 이것에 대한 증명이 가우스의 보조정리입니다.
±(상수항의 약수)/(최고차항의 계수의 약수)
예를 들어, \(f(x)=x^3-2x^2-5x+6\)에서는 \(6\)의 약수인 \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\)중에서 \(\alpha\)를 구할 수 있습니다.
근을 찾는 순서는 \(1, -1, 2, -2, \cdots\)로 하는 것이 좋습니다. 만약 1이 근이라면, 미지수 \(x\)로 표현된 것이 전부 1이 되기 때문에 계수들의 합이 영이 됩니다.
보통 계산에서 주의해야 할 점은, 음의 값을 대입할 때, 미지수의 지수가 홀수, 즉, \(x, x^3, x^5, \cdots\)인 경우에 앞의 부호가 바뀌게 된다는 점입니다.
기본예제
기본예제1
다음을 식을 인수분해하시오.
(1) \(x^3-3x+2\)
해설) \(x=1\)을 대입하면 준식이 0을 만족하므로, \(x-1\)을 인수로 가집니다. 이제 몫을 구하기 위해서 조립제법을 수행합니다.
\(\quad\)\(\begin{array}{cc}
\begin{array}{c} 1 \\ \\ \\ \end{array}
&
\begin{array}{|rrrr}
1 & 0 & -3 & 2 \\
& 1 & 1 & -2 \\
\hline
1 & 1 & -2 & 0
\end{array}
\end{array}\)
따라서,
\(\quad\)\(\begin{align}
& x^3-3x+2 \\
&=(x-1)(x^2+x-2) \\
&=(x-1)(x-1)(x+2) \\
&=(x-1)^2(x+2) \\
\end{align}\)
(2) \(x^3+x^2-8x-12\)
해설) \(x=-2\)을 대입하면 준식이 \(0\)을 만족하므로, \(x+2\)을 인수로 가집니다. 이제 몫을 구하기 위해서 조립제법을 수행합니다.
\(\quad\)\(\begin{array}{cc}
\begin{array}{c} -2 \\ \\ \\ \end{array}
&
\begin{array}{|rrrr}
1 & 1 & -8 & -12 \\
& -2 & 2 & 12 \\
\hline
1 & -1 & -6 & 0
\end{array}
\end{array}\)
따라서,
\(\quad\)\(\begin{align}
& x^3+x^2-8x-12 \\
&=(x+2)(x^2-x-6) \\
&=(x+2)(x+2)(x-3) \\
&=(x+2)^2(x-3) \\
\end{align}\)
