(고등수학) 두 도형의 위치 관계

고등학교 수학 교과과정의 많은 부분에서, 두 도형이 만나는지 그렇지 않은지 여부에 대한 부분이 있습니다. 예를 들어, 이차함수와 이차방정식의 관계, 이차함수와 직선의 위치 관계, 원과 직선의 위치관계, 이차도형과 직선의 위치 관계 등이 있습니다.

이 문제는 실근과 관련이 있습니다. 왜냐하면 고등학교에서는 좌표평면의 구성이 $x$축과 $y$축이 실수로 구성되는 직교 좌표계(데카르트 좌표 시스템)를 사용하기 때문입니다. 결국 도형이 만나는 경우는 실근을 갖는 경우이고, 만나지 않으면 실근이 없으니 허근을 갖는 경우입니다.

두 도형의 만남은 두 도형의 식으로 구성되는 연립방정식을 풀었을 때, 실근의 유무와 동치 관계입니다. 연립방정식을 풀 때, 어떤 미지수를 선택할 것인지는 정해져 있지 않고, 다만, 그래프로 주어진 경우에는 미지수 $y$를 소거하기 쉽기 때문에 $x$에 대한 식으로 주로 해결합니다.

• 두 도형 $f(x,y)=0,g(x,y)=0$이 만나는지 유무는 두 도형의 연립방정식 $f(x,y)=g(x,y)$의 실근의 유무와 동치 관계가 됩니다.
• 두 그래프 $y=f(x),y=g(x)$가 만나는지 유무는 두 그래프의 연립방정식 $f(x)=g(x)$의 실근의 유무와 동치 관계가 됩니다.

반면에 복합적인 식으로 구성되는 방정식에서 실근의 개수 문제는 해당 방정식을 2개의 도형으로 나누어, 두 도형의 교점의 개수 문제로 해석할 수 있습니다.

• 방정식 $f(x)=g(x)$의 실근의 존재유무는 두 그래프 $y=f(x),y=g(x)$의 교점의 존재유무로 해석할 수 있습니다. 여기서, 좌우변으로 나누는 과정(두 도형)은 가능한 쉽게 개형을 그릴 수 있는 것을 선택합니다.

일차함수와 일차다항식의 관계

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계